Прп работе жидкостного реактивного двигателя всегда наблюдаются колебания давлення в камере сгорания, колебаппя в расходе топлива и т. п. Это приводит к коле­баниям тяги, что воспринимается конструкцией, па кото­рой установлен двигатель, как некоторая механическая вибрация. Надо сказать, что эти вибрации не предста­вляют какой-либо опасности для конструкции, пе сни­жают эффективности двигателя, и их следует считать столь же естественным явлением, как и вибрации п шум автомобильного двигателя. Однако было замечено, что при известных условиях нерегулярные колебания, о кото­рых здесь шла речь, резко изменяют свой характер. Они зиачительно увеличивают свою амплитуду, становятся строго периодическими и тем самым становятся весьма опасными для конструкции двигателя. Поэтому требова­ния успешного развития ракетной техники привели к необходимости подробного исследования автоколебаний в каморах сгорания жидкостных рсактпвпых двигателей. Неудивительно, что в периодической литературе появился ряд статей, посвященных этой проблеме, а недавно была выпущена весьма цепная монография Крокко и Чжепа1).

Авторы указанной монографии, в полном согласии с рядом других исследователей, выступавших со своими работами в периодических изданиях, различают два вида автоколебаний в жидкостных реактивных двигателях. Одни из этих видов принято называть нпзкочастотпыми автоколебаниями, другой — высокочастотными. Разница между пимн сводится к следующему.

Низкочастотные колебания вызываются тем, что си­стема, состоящая из камеры сгорания и топливоподающих устройств, становится неустойчивой по отношению к малым возмущениям. При этом механизм возникновения этой неустойчивости обусловлен влиянием периодических колебапий давления в камере сгорания на подачу топлива и на величину времени запаздывания воспламенения. Характерным для этого вида автоколебаний является то, что при их исследовании можно пренебрегать протя­женностью камеры сгораиия, рассматривая ое как неко­торый объем, во всех сечепиях которого давление изме­няется одппаковым образом.

Высокочастотные колебания также вызываются тем, что система становится неустойчивой по отношению к малым возмущениям и в этом случае также определен­ную роль играет взаимодействие колебаний давления
в камере сгоранпя с процессом подготовки и воспламе­нения горючей смеси. Однако, в отличие от предыдущего случая, здесь уже нельзя пренебрегать протяженностью камеры сгорания и нельзя считать, что во всех сечениях объема камеры сгоранпя давление и другие параметры изменяются одинаковым образом.

С точки зрения механики, первый случай во многом аналогичен обычным динамическим системам (описывае­мым обыкновенными дифференциальными уравнениями), а второй случаи связан с распространением возмущении по сплошной среде, т. е. с явлениями акустиче­ского тина (описывае­мыми системами диффе­ренциальных уравнений в частных производных). Поскольку настоящая книга посвящена изуче­нию процессов возбуж­дения продольных аку­стических колебаний, то естественно, что здесь будет рассматриваться только задача о продоль­ных высокочастотных колебаниях. Хотя приводимое ниже изложение вопроса несколько отлпчается от того, которое да по в монографии Крокко и Чжена (это вызвано жела­нием быть более близким к содержанию предыдхтцих глав), осповпые идеи п результаты заимствованы пз на­званной монографии. Желающим более подробно познако­миться н с пизкочастотпыми колебаниями в жидкостных реактивны^ двигателях следует порекомендовать обра­титься к работе Крокко и Чжена.

Рпс. \. Схема жидкостного рсак — тпвпого двигателя.

Прежде чем переходить к изложению вопроса, дадим краткое описание схемы жидкостного реактивного дви­гателя. Как известно, этот тип двигателя представляет собой цилиндрическую трубу а, с одной стороны которой устанавливается сверхзвуковое сопло б, а с другой — устройства для впрыска в камеру сгорания топлива (рис. 111). Последние включают, в частности, устройства для подачп и распыла горючего (трубопровод г на рисунке)
и окислителя (трубопровод в на рисунке). В замкнутый объем камеры сгоранпя следует, как известно, непрерыв­но подавать горючее (например, спирт) н окнсянтель (например, жидкий кислород). В совокупности горючее и окислитель принято называть топливом. Топливо пе всегда должно состоять из двух компонентов, как в только что рассмотренном примере. Существуют так называемые однокомнонептпьге топлива, способные к самовоспламе­нению при попаданпп в камеру сгорания двигателя. В этом случае вместо двух трубопроводов виг на рис. 111 сохранится лишь один. Закрытый конец камеры сгора­нпя, вместе с расположенными здесь форсунками, служа­щими для распыла топлива, принято называть голов­кой, противоположный конец — соплом.

Горение в двигателе сильнейшим образом зависит от тех процессов, которые нропсходят у головки двига­теля. Поскольку в камеру сгорания впрыскиваются жидкие компоненты, постольку смесеобразование играет весьма важную роль. Эффективность п быстрота сгора­пия впрыснутого топлива зависят от качества распыла н смешения компонентов (если топливо не одиокомпонент — пое), от быстроты пспаренпя капелек топлива и от быстро­ты прогрева горючей смесп. Вся совокупность втих про­цессов требует для своего завершения известного вре­мени, по прошествии которого только и может наступить интенсивная химическая реакция.

Не имея возможности дать этим процессам сколько — нибудь четкую количественную характеристику, введем в качестве некоторой суммарной характеристики время запаздывания, понимая его как время, прошедшее от момента впрыска топлива до мгновенного превращения его в продукты сгорания.

Примем для периода пндукцпн t„ соотношение (37.5), которое говорит, что период индукции связан только с давлением. В § 37 указывалось, что многие стороны фнзико-химических процессов, подвергающихся идеали­зации путем введения периода ипдукцпн действительно связаны с давлением. Но соотношению (37.5) можно при­писать более общее значенпе. Если н другие факторы (например, относительные скорости капелек топлива и продуктов сгорания) пграют существенную роль, но их изменение закономерно связано с изменением давле­ния, то влияние указаииых факторов можно, в конечном итоге, выразить через давлеппе. Прн переходе к без­размерным переменным соотношение (37.5) примет сле­дующий вид:

(1 ~-рУ dt’= const. (52.1)

Воспользуемся полученной формулой для записи условий на поверхности теплоподвода (сечение потока, в котором капли топлива мгновенно превращаются в про­дукты сгорания).

Предположим, что количество подаваемого в камеру сгорания топлива постоянно, т. е. никак не зависит от возможных колебапий давления внутри камеры сгорания (физически это соответствует очепь большим давлениям подачи топлива).

Если секундный массовый расход топлива обозначить через т, а массу сгорающего в единицу времени топли­ва через wcr, то относительное возмущение массовой скорости сгорания можно определить так:

M = (52.2)

Если процесс сгорания топлива характеризуется пе­риодом индукции тш то масса топлива, сгоревшая за время сіх, должна быть равна массе топлива, впрысну­той за время d(T— ти)

Mcv dx = md (т — ти)

Или

Mflr = m(l-^) . (52.3)

Переходя к безразмерному возмущению т, последнему равенству можно придать следующий вид:

Найдем выражение производной через известные величніш. Обратимся для этого к соотношению (52.1). Дифференцируя его по т н предполагая, что р зависит только от переменной интегрирования т’, по пе зависит от мгновенного значения тп, получим искомую величину по правилу дифференцирования интеграла с неременным верхним проделом.

Чтобы воспользоваться этим правилом, разобьем левую часть равенства (52.1) па два слагаемых:

X т

Т-ти « а

Где а —некоторая произвольная постоянная. Прн диф­ференцировании по т учтем, что ти является функцией т и поэтому дифференцирование второго слагаемого сле­дует вести по правилу дифференцирования сложной функ­ции, умножив производную от этого интеграла но выра­жению, взятому в качестве верхнего предела интегриро­вания, па производную от этого выражения по т. Итак: т

Т-ти

Поскольку равенство (52.1) имеет в правой части постоянную, полученное выражение равно пулю. Отсюда

Легко находится

= Г 1+Тч-с) пг

Dx Ll + p(*-Tn)J

Второе слагаемое полученного равенства можно упростить, так как р < 1, а следовательно, и отклоне­ния периода иидукцин от некоторого среднего за цикл значения ти вследствие колебания давления относитель­но невелики. Это позволяет написать, что

Г^їЦЛ’^і + Чр. рй)].

L 1+Р (т—т„) J

Здесь опущено обозначение зависимости р от т, а вы­ражение р (т„) указывает лишь, что величина р берется в некоторый момент, предшествующий пастоящему на величину среднего периода нпдукцпи т1Г Таким образом,

(52.5)

Сочетание полученного равенства с найденным выра­жением (52.4) дает соотношение, могущее служить осно­вой для формулирования свойств области теплоподвода:

M = r[p-p( т„)].

Найденное соотношение следует использовать прп написании уравнении, связывающих возмущенные пара­метры течения слева и справа от поверхности разрыва 2, являющейся, как известно, идеализированной неподвиж­ной плоскостью теплоподвода. Чтобы написать свойства поверхности 2, используем зависимости, приведенные в гл. IV. Из сказанного выше ясно, что в уравнениях, описывающих процесс горения в жидкостных реактивных двигателях, не следует пренебрегать колебанием подачи газообразной массы в камеру сгорания, поскольку даже при постоянной подаче жидкого топлива сгорание (т. е. превращение в газ) может происходить с переменной скоростью. Пренебрегая объемом, занимаемым каплями топлива, можно считать, что моментом поступления мас­сы в камеру сгорания является момент перехода топлива в газообразное состояние. Поэтому напишем уравнения для области горенпя о в впде (1.5.5), не пренебрегая членом ЬМ*.

(52.6)

В рассматриваемом случае в уравнениях (15.5) можно сделать следующие упрощения. Будем считать, что в установившемся процессе температура газа как слева, так и справа от области а (рпс. 111) одинакова, т. е. а1 = й,2. Это связано с тем, что и слева и справа от о пространство камеры сгорания заполпепо продуктами егорания. Кроме того, слева от а газ можно считать в средпем (в установившемся режиме) неподвижным и нзоэнтропичпым, т. е. полагать vL = 0 и б Sj = 0. Если учесть это, то, поделив первоо уравнение (15.5) на q2v2, второе
на q, o", а третье на q2o’ и учтя, что qsd2 = М*, можно получить следующую систему уравнений, записанных и "принятых я настоящей книге безразмерных переменных:

JgOs + ft-Sj^Oi + m,

2а, + ( М + + MJ-,

(52.7)

Здесь

(52.8)

М*

Сравнивая систему (52.7) с полученной ранее системой (15.7), можно видеть значительное упрощение соотноше­ний на S для жидкостного реактивного двигателя но сравнению с соотношениями, справедливыми для горе­ния движущихся газов. Ряд упрощений связан с тем, что г^ = 0, другие —с постоянством параметров газа в уста­новившемся режиме для всей камеры сгорания. Послед­нее, в частности, приводит к тому, что ах = а2, q1^q2: 1 а ото в свою очередь дает ~ ^ q dV ^ 0 и

V

^ q (cvT — f q) dV = 0. Величину q можно положить рав — v

Ной нулю, так как вся газовая среда в камере состоит нз продуктов сгоранпя (при такой идеализации не
учитывается наличие в камере сгорания газоооразпых компонентов топлива).

Введем дальнейшее упрощающее допущение. Примем, что пространственное распределение горенпя не изменяет­ся прп акустических колебаниях. Тогда /g = 0 и /3 = 0. Кроме того, учтем, что тепло, подводимое непосредствен­но в зону а, однозначно связано с подводом массы

(52.!))

Q* = qvm■

Тогда, исключая из системы (52.7) s2, можно получить свойства плоскости 2 в виде следующих двух равенств:

— , 1

Mt

(52.10)

М-

М(у. і

1 -| — . я — ггту] "-г+^тРГ-

М(х -1) 2 J 1 1 2

Если добавить к ппм соотношение (52.6), причем по­лагать, что входящее в пего р совпадает с [/, (это естественно, так как период индукции должен зависеть от параметров среды, через которую движутся капли топлива к области горепия о), то число переменных п системе (52.10) можно будет свести к четырем. Стоящая в правой части равенства (52.6) разпость р — р(т„) может быть выражена (ем. (4.13)) следующим образом:

F-fW = f(

Окончательно форма записи свойств поверхности S для рассматриваемого случая будет выглядеть так:

-рт„.

Mr ( і —

) Pi,

Щ + — Щ+ I

Їм

(52.11)

"(l-e-‘^Pi-

Теперь необходимо задать два краевых условия.

Одно из краевых условии получается сразу: у голов­ки не может происходить колебаний скорости, т. е. (взяв начало отчета | на плоскости 2)

Прн £ = ^ Vj =0. (52.12)

Чтобы сформулировать второе краевое условие, обра­тимся к рассмотрению характера течения у выходного сонла. Если считать, что у двигателя «короткое» сопло, т. е. расстояние от сечения, соответствующего | = |2 на рис. 111 до критического сечения сопла (сечение ее) невелико по сравнению с длиной камеры сгорания ІІхІ + Іа (точнее, по сравнению с длиной стоячей волны возбужденных в камере сгорания колебаний), то в соот­ветствии с проведенными выше для аналогичного случая рассуждениями (стр. 211)

= 0 npuЈ = ge. (52.13)

Пусть теперь £і = 0. а Ег= т — е- будем рассматри­вать горепие, происходящее в непосредственной близости от головки. Тогда в равенствах (52.11) можно будет принять = 0 и путем несложных преобразовании при­вести их к виду:

= Кз + «із» + а14/’е-е, и) pw, J,2 ^

Рго = (ааа + V + я24пГрти) р10. J

Здесь aih — некоторые постоянные, которые определяются в процессе преобразования равенств (52.11) к виду (52.14). Индексы нуль при переменных поставлены для того, чтобы подчеркнуть, что опн соответствуют 1 = 0.

Полученные соотношения почти буквально совпадают с рассматривавшимися рапее равенствами (26.4). Учтя, что краевое условие (52.13) совпадает с краевым усло­вием, использованным в § 26, можно сразу, по анало­гии с уравнением (26.5), написать следующее выраже­ние, которое является характеристическим уравнением
рассматриваемой задачи:

(а» + а]аг + ЯипГ1*") (1 + ехр р) +

+ («и + <V + агіе-^) ( 1 — ехр ^ Р ) = 0. (52.15)

Отсюда следует:

(«12+ віаО (1 + ехр Y^p p")-H*M —аыг) С1 — охр 0

О„ ^ 1 + ехр j^j^P ) + вМ 1-ехр j-^P J

= Р)-Н£(>’, Р). (52.16)

Здесь А н В — вещественная и мнимая части дроби, стоящей в средней части равенства.

Будем искать границу устойчивости. Как известно, на границе устойчивости = газ и, следовательно,

Г COS СОТи = Л (Г, СО), г sin <0ГИ = — В (г, ai),

Откуда находим

Г2 = А2(г, Ш) + В2(Г, СО). (52.18)

Задаваясь разними со, находим но уравнению (52.18) г, а затем по равенствам (52.17) ти.

Фактическое вьшолнеипе указаппых операций упро­щается тем обстоят ель стволі, что, как впдно пз системы (52.11), численные коэффициенты при г и при ге~рт" отли­чаются лишь знаками. Поэтому и относительно коэффи­циентов соответствующих слагаемых равенств (52.14) можпо утверждать то же самое:

Аи — ~ аіз> а24— ~~ а23-

Но тогда равенству (52.16) (прп р = гсо) можно при­дать такой в’ид:

(52.17)

Г ехр (— іоот,,) = г + Ь + 1с, (52.19)

ЕД0

FlL+ai ‘ ~~ яі+дІ *

«і = («12 + «22) + («12 — «22) cos ГГ^й®’ 2

«2 = («13 + «2з) + («із — «зз) С03^Гд/2Ю.

A3=(al2-А22) sinj—j^ft),

«4 = («13 — «2з) sin со.

Переходя затем к уравнению типа (52.18), полу чим линейное относительно /• соотношение

Определив по формуле (52.20) величину г, сразу находим ти. Из сравнения мнимых и действительных частей равенства (52,19) следует:

Sin ШТи = — у, COSOJTn = 1 ■ (52.21)

Для теоретического анализа высокочастотных колеба­ний в жидкостных реактпвпых двигателях систему урав­нений (52.7), описывающую свойства области теплопод­вода, обычпо заменяют приближенной. Наппсав только первое уравнение, являющееся следствием закона сохра­нения потока массы, дополняют его двумя равенствами Рі — Рг и = = которые используются вместо вто­рого и третьего уравнений (52.7).

Физически это связано с тем, что продукты сгоранпя в камере жидкостного реактивного двигателя имеют в основном одинаковую температуру по обе стороны фронта горения. Это существенно отличает процесс в дви­гателях рассматриваемого типа от процессов в топках и других устройствах, в которых подвод тепла к по­току холодного газа, пересекающего фронт пламени, обычно происходит без заметного увеличения массы теку­щего газа.

Если принять это допущение, то вместо системы (52.7) можно будет написать такую:

Ft = Pi-

Равенства (52.14) приобретают весьма простои вид:

=+м И1 — Є"е?«) -1] й„, Р 20 = Рм>

А коэффициенты уравнения (52.19) можно записать сразу в явном виде:

2

Sin jrp — О)

I>=- 1; с= 7 ^ v (52.24)

М(.1+СозТ=м5Г°0

Прежде чем идти дальше, оценим допустимость вве­денного здесь упрощения. С этой целыо построил; область неустойчивости для основного топа трубы по обеим мето­дикам—точной и приближенной. Для этого возьмем сле­дующий численный пример: х=1,2, М — 0,213, тепло­творную способность топлива примем равной 2000 •

Следует заметить, что для приближенной методики зпанпе теплотворной способности топлива излишне.

Получив по формулам (52.20) и (52.21) пары значений г и ги, нанесем их на график, приведенный на рпс. 112. Крпвая 1 соответствует расчету но точной, а кривая 2—рас­чету по приближенной методике. Как видно из графика, обе границы устойчивости (штриховкой показана область неустойчивости) идут достаточно близко и поэтому допус­каемое обычно упрощение надо считать вполне оправдан­ным. В дальнейшем все результаты будут получаться по приближенной методике.

(52.22)

(52.23)

Если вернуться к диаграмме на рпс. 112 для того, чтобы понять основные свойства жидкостного реактивного двигателя как колебательной системы, в которой могут развиваться продольные акустические колебания, то
можно утверждать, что прн малых г (г < 0,5) самовозбу — жденне акустических колебаний вообще невозможно. Это связано с тем, что при малых г период индукции слабо зависит от давления. Наименьшим значением?•, при котором еще возможно самовозбуждение, является?-=0,5. Проще всего в этом убедиться следующим образом. Вос­пользовавшись равенствами (52.23), найдем выражение для потока акустической эпергии, излучаемой областью теплоподвода. Прп этом учтем, что О яо краевому условию, а температуры и давления газов по обе стороны фронта горения одинаковы. Тогда, следуя формуле (19.7), можно написать

— jpi0vi0 = M[(r-i) — r cos юти](52.25)

Поскольку рассматривается самовозбуждение системы, не имеющей потерь акустической эпергии па концах трубы, границе устойчивости будет соответствовать Л2=01 самовозбуждению > 0, а гашеншо колебапий ЛЕ<0,

Легко видеть, что стоящее в прямых скобках выраже­ние отрицательно при малых г. Чтобы сделать его при заданпом г наибольшим, надо взять такое т,„ нри кото­ром cos шт= —1. Тогда в прямых скобках будет 2г — 1. Указапноо выражение обращается в нуль при г = 0,5. Та­ким образом, наименьшим значением г, нрп котором может быть выполнено условие Аъ = 0, является г = 0,5, при г < 0,5 уі£<0, т. е. самовозбуждение невозможно.

Этот результат был получен сейчас не на основе чис­ленного примера, таким образом, утверждение, что при г < 0,5 колебательпая система не может возбудиться ни при какпх условиях, приобретает характер общей закономерности.

При >0,5 появляется область значений (г, тн), нри которых колебательная система будет возбуждаться. Интервал значений ти, допускающих самовозбуждение, увеличивается но мере роста г. Таковы общие закономер­ности, которые следуют пз выражения (52.25) и которые отображены на рис. 112.

Чтобы сделать эту диаграмму еще более наглядной, приведем порядок величин г и тн, наблюдавшихся в опыте,

По данным, полученным в эксперименте Крокко, Греем и Харджем[16]), величина г имеет порядок 1,3-г-1,7 (в зави­симости от соотношения между количествами окислителя и горючего, поданных в камеру), а размерная величина периода ипдукцип содержится в интервале 0,15 — н 0,22 мил­лисекунд. Поэтому реально наблюдавшиеся значения г

Рис. 112. Область неустойчивости, получен­ная точным (1) и приближенным (2) методом.

Делают возбуждение продольных акустических колебапий вполне вероятным.

Рассматриваемый тип акустических колебаний в неко­торых пунктах принципиально отлпчается от научавшегося в предыдущих главах возбуждения колебаний теплопод­водом и поэтому представляется целесообразным построить для него диаграмму границ устойчивости наподобие тех, которые строились в гл. Ill и IV. Наппшем равенства (52.23) в форме

По — Мр10 + Мт, ) Jho = PlQ — і

При такой записи возмущение т может зависеть не только от ри, по п от «10.

Возьмем скалярное произведение этих равенств друг на друга и учтем, что v20i>20 — 0, vl0$>10 = 0, потому что

Рис. ИЗ. Диаграмма грапид устойчивости при самовозбуждении вследствие возмуще­ния газообразования.

В системе нет потерт, акустической энергии. Тогда вели­чины 2>]0 и ш будут связаны следующим соотношением:

Которое представлено графически на рис. 113 для |рго| = 1 в виде вертикальной прямой а;=1. Как впдпо из этой диаграммы, возбуждеппе системы стаиовнтся возможным только тогда, когда проекция безразмерного возмущения газообразования ш на ось х (иа направление plQ) ире — вышает абсолютную величину plQ. Поскольку при сделан­ных выше предположениях абсолютная величина т прямо пропорциональна абсолютной величине рїй

M = r(l-e~^)pv (52.26)

То условия возбуждения зависят от пх относительной величины и от фазового сдвига, т. е. в конечном итоге ет Г И Ти.

Принципиальное отличне рассматриваемого случая от изучавшихся раиее заключается в том, что вместо возму­щения теплонодвода или скорости распространения пла­мени здесь появляется возмущение газообразования. Поскольку газообразованпе, вообще говоря, не обяза­тельно должно быть связано с теплоподводом (горением), то этот тип возбуждения акустических колебаний мыслим в устройствах, в которых полностью исключено гореппе или теплоподвод, но в которых происходит газообразова­ние (папрпмер, нспаренне сильно перегретой жпдкостп, которая впрыскивается в камеру с пониженным давле­нием), еслп, конечно, это газообразованпе будет тем пли иным образом зависеть от колебаний давления или ско­рости.

Надо сказать, что вместо построения приближенной границы устойчивости, изображенной на рис. 11В в виде вертикальной прямой, можно построить и точную, осно­вываясь па уравнениях (52.10), а пе (52.22). В этом слу­чае, как и в гл. III и IV, можііо получить семейство окружностей, центры которых движутся [в зависимости от нзмененпя взаимно связанных равенством (19.12) величин р10 и і?10] по частн дуги эллипса. Соответствую­щее построеппо приведено на рис. 113 для уже упоминав­шегося численного примера. Все построенные окружпостп лежат справа от приближенной граппцы устойчивости и достаточно близко к пей. Таким образом, прямую 2 = 1 на диаграмме рис. 113 можно рассматривать как приближен­ную конфигурацию граппцы устойчивости при произволь­ном положении зопы горенпя вдоль осп камеры сгорапия двигателя. Прп этом расстояние между границей устой­чивости и осью х равно корню пз постоянной в правой частп равенства (19.12), который совпадает с |р10| в пуч­ности давлеппя (в построенном примере эта постоянная взята равной единице).

Из рассмотрения диаграмм устойчивости становится очевидным, что система пе может возбудиться, когда фронт горенпя будет располагаться в узле давления даже в том случае, если (например, под действием колебапий скорости) газообразование будет иметь отличную от нуля колебательную составляющую. Это видно нз того, что область неустойчивости не захватывает ни одного участка оси у, более подробный анализ показывает, что, например, нріг /?10=0; iQ = i окружность, соответствующая изобра­женной в правой части рпс. 28, имеет мппмый радиус.

После сделанных замечаний вернемся к обсуждению диаграммы, приведенной на рпс. 112. На этой диаграмме даны не все области неустойчивости, а лишь одна из них, соответствующая колебаниям основного топа п харак­теризуемая наименьшими значениями ти для этой гар­моники Следует, правда, напомнить, что само понятие гармоники может прилагаться к системе, в которой свой­ства 2 переменны лпшь с известными оговорками (подробнее об этом см. § 27). Еслп условиться считать за собственные частоты системы те, которые получились бы при акустических колебаниях в той же камере сгорания и при том же потоке газа, но без взаимодействия с зоной горения, то они определяются формулой (5.4)

И = (1 — М2) Кл 1;2;3; .. .). (52.27)

В рассматриваемом случае такие частоты возникают при /-=0,5 и

OT„ = iVrt (iV=l, 3, 5, …). (52.28)

Проще всего убедиться в этом, используя первое равенство (52.23). Вспомнив, что па границе устойчи­вости (} = г£0, легко видеть, что при г = 0,5 и (отш опре­деляемых по соотношению (52.28), и20 = 0, так как крае­вое условие дает v10 = 0. Следовательно, в этом случае краевые условия можно записать в виде v2 = 0 при і = 0 и У2 = 0 при £ = 1, т. е. сформулировать их для коицов трубы так, чтобы между концевыми сечоииямн пе было фронта горения (прп | = 0 краевое условие выражается теперь через v2, а пе и,). Полученная в § 5 формула
(52.27) выводилась в таком именно предположении — на концах трубы одинаковые узлы (оба давления или обе скорости), а между ними нет поверхностей разрыва. Впрочем, частоты, даваемые формулой (52.27), можно найтп п непосредственно из соотношений, полученных в настоящем параграфе. При (оти, определяемых форму­лой (52.28) (ее можно рассматривать как следствие равенства (52.21) для — 1 и /’ = 0,5), величина мни­мой части равенства (52.19) должна быть равной нулю. Этому соответствует с = 0, или, по формуле (52.24),

2 2 sin о> = 0, что дает —= т. е. формулу

(52.27) Г л _2д,/а м = К ті не является решением для нечет­

Ных к} так как в этом случае знаменатель в выражении

Для с (52.24) обращается в нуль и с— со

Следовательно, те частоты, которые обычно принято называть собственными частотами, возбуждаются лишь при вполне определенных г и ти. На рнс. 112 этому соответствует всего одна точка границы устойчивости — та, для которой г = 0,5. Легко убедиться в том, что эта точка получается нри К = і и = 1 в формулах (52.27)

И (52.28).

Для других точек, лежащих на границе устойчивости, частоты о отличаются от частот, определяемых выраже­нием (52.27). Если оставаться в пределах значении г, показанных на рис. 112, то для крайних точек эти частоты будут отличаться от частоты, соответствующей г=0,5 на ± 10% (для верхней ветви границы устойчивости они будут мепыпе, для нижней — больше). Поскольку, как это впдно из приведенного примера, в довольпо широколі дпапазопе измепепий г возбужденные частоты близки к величинам, даваемым формулой (52.27), последним выражением можно пользоваться для приближенной оценки частот колебаний.

Изображенная иа рпс. 112 кривая не является един­ственной границей устойчивости в плоскости параметров (г; Ти). Действительно, если обратиться к выражению (52.19), то сразу видно, что если для него существует
хотя одно решение ТІ; ©*, то на его основе можно построить бесчисленное множество решений следующими двумя путями.

Во-первых, не пзменяя г и ничего не меняя в правой части равенства (в том числе и со*), можно сразу утвер­ждать, что если решение существует для некоторого та, то оно будет существовать и для всех

= + fJV = 1. 2, З, …). (52.29)

Во-вторых, можно поступить следующим образом. Полагая N = const н сохраняй изменим аргументы вхо­дящих в коэффициенты b и с тригонометрических функ­ций следующим образом:

1 — ЛЯ

2(АГ-1)я [К=і, 2, 3, . . .).

Здесь, как п в предыдущем случае, со* — частота, соответствующая /£ = 1 (первой гармонике), а со — час­тоты для всех гармоник.

Приведенное здесь рассуждение можно приложить к каждой точке границы устойчивости, изображенной па рис. 112. Следовательно, всю границу можно пере­строить и получить бесчисленное множество областей пеустойчпвости для всех комбинаций К н N.

Соответствующее построеппе для нескольких комби­наций значений К и N приведено на рнс. 114. Как видпо пз приведенной диаграммы, увелпченпе К опускает область неустойчивости, в то время как увеличение N поднимает ее. Если взять все возможные комбинации значений К и N, то практически вся область, лежащая справа от штриховой лпнип г=0,5, будет заполнена областями неустойчивости. Следовательно, прн?• > 0,5 и при любом ти (кроме, конечно. ти =0) колебательная система способна к возбуждению. В зависимости от ти н г это будет касаться той пли иной гармоники пли сразу нескольких гармоник.

До сих пор рассматривался почти исключительно тот случай, когда фронт горения расположен в непосред­ственной блпзостп от головки двигателя. Единственным исключением было построение диаграммы устойчивости на рис. ИЗ, которая остается справедливой для произ­вольного расположения фронта горения по длипе камеры сгорания.

При обсуждении указанной диаграммы говорилось, в частности, что в узле давления возбуждение системы

3

Г

Невозможно. По это лгу следует проанализировать более подробно вопрос о склонности рассматриваемой колеба­тельной системы к самовозбуждению в завис им ости от положения фронта горенпя по длине камеры сгорания двигателя.

7

‘ 7 1 Т

Рис. 1М. Области неустойчивости для двух гар — мопик системы.

Чтобы осуществить такой анализ, следует пользоваться точными соотношениями для фронта горения (52.11), а не приближенными (52.22). Это связано с тем, что по мере перемещения к узлу давления (т. е. по мере уменьшения абсолютных величин рг и рг и увеличения vx и уй) пре­небрежение членом, имеющим множителем У2 во втором |іаіірнстве_(52.7), является незаконным. Действительно.

Условие которое заменяет второе уравнение (52.7)

В соотношениях (52.22) (в них, кроме того, полагается s, = s2—0), можпо рассматривать как приближенную запись второго равенства (52.7) при s2=0, поскольку > 1. Однако при 0 и 0 такое утверждение ста­новится ошибочным1).

Выше было показано, что возбуждение продольных акустических колебаний в жидкостных реактивных дви­гателях существенно связано с двумя параметрами: г и ти. Приступая к анализу влияния на самовозбуждение колебаний относительного расстояния фропта горения от головки двигателя надо условиться о предположе­ниях, которые будут сделаны относительно г н ти. Вели­чина г будот задаваться и оставаться постоянной. Пара­метр ти будем считать переменным и выбирать его так, чтобы cos соти = —1. Если выбирать т„ пз написанного условия, то будут обеспечиваться наилучшие условия для возбуждения колебаний. Это видно, например, из того, что при cos о)Ти = —1 вектор т па диаграмме рис. 113 располагается горизонтально (фазы тир будут сов­падать) и поэтому возбуждение системы окажется воз-

*) В этом пункте в упоминавшейся книге Крокко п Чжена (а также в статьях названных авторов в церподической литературе) допускается неточность. Они пользуются приближенным соотно­шением тина (52.22) для произвольного положення фропта горе — пня н делают ряд упрощающих предположений, законность кото­рых пе вполпе ясна. В результате полученные ими границы устой­чивости {фиг. 29 названной книги л ряд другнх) вызывают сом­нение. Это видно, в частности, из такого примера. Рассмотрим устойчивость основного топа при положешш фронта горепия В середине камеры сгоранпя, т. е. в узле давления. Если пользо­ваться соотношением тпца (52.22), то это даст рі^рч— 0 n f1=&2. или (учитывая, что п= 1 и т=) 6Я=0 и 6А’=0 (см. формулы (17.1)}. Тогда в системе без потерь тина рассматриваемой в настоя­щем параграфе будут нейтральные колебания. Это подробно пока­зано в § 22 при обсуждении равенства (22.6). Следовательно, при положении фронта горения в середяие камеры сгорания система будет на границе устойчивости. В книге же Крокко и Чжена такому положению фронта горения соответствует устойчивость. Надо заме­тить, что возможные уточнения могут изменить лшпь количествен­ную, но не качественную сторопу выводов Крокко п Чжепа.

Можным прп минимальной абсолютной величине т. Если указанное условие выполнено, а /’=0,5, то частоты коле­баний даются формулой (52.27), т. е. совпадают с «есте­ственными» акустпческпмп частотами. Поскольку ниже будут рассматриваться сравнительно близкие к 0,5 зна­чения то и частоты колебаний должны быть близкими к частотам (52.27).

Таким образом, ниже будут рассмотрены колебания с частотами, близкими к обычным акустическим частотам, и при таких ти, которые в известной мере наибольшим образом содействуют возникновению автоколебаний.

Пусть г > 0,5. Тогда при положении фронта горения у головки колебательная система будет возбуждаться (это видно из рис. 114). Начнем перемещать фронт горе­ппя от головки и найдем положение, при котором само- возбуждеппе станет невозможным. Напишем выражение для потока акустической энергии, излучаемой зоной горения, и приравняем его нулю. При сделанных пред­положениях он будет равен

= у (Рго^ао -Wio) = у («іЙо + аА) = 0- (52.31)

Где ах и а2 — численные коэффициенты, которые легко получаются _ при почленном скалярном перемножении равенств (52.11), приведенных к впду (52.14), друг на друга с учетом того, что при Рти = гсотп, взятых по ого­воренному выше условию, 1 —^Ти = 2.

Величины и v связапы равенством (45.6) и по­этому абсолютные величины р10 и v10 могут быть запи­саны прп помощи формул (45.7). Тогда равенство (52.31) сведется к следующему уравпению относительно пара­метра ф, определяющего положение сечения X вдоль стоячей волны акустических колебаний:

Ах cos2 ф + а. г sin’- ф = 0

Или Откуда ^ „

Sin ф= j/ (52.32)

Построим для упоминающегося выше численного при­мера зависимость ср от г (коэффициент (i} является функ­цией /•). Резз’льтаты расчетов можпо представить сле­дующей таблицей:

	0,50	0,75	1,25	11,00
<е |	0 Л 0 —я	0,35 2,79 —0,35 —2,79	0,59 2,55 —0,59 —2,53	0,71 2,43 -0,71 —2,43

Чтобы придать этому расчету наглядность, яа рис. 115 изображена эпюра стоячей волны давления и скорости

Рис. 115. Эпюры стоячих волп давления и скорости в области неустойчивости для различных г.

При изменении ф от 0 до ли положення найденных сече­ний на ней. Как видно из диаграммы, по мере увеличе — ни я г увеличиваются области неустойчивости в окрестно­стях ф=0 и ф = л;. Это означает для первой гармоники, что иеустойчивость будет возникать в двух случаях: при положении фронта гореипя у головки и прп положе­нии его у сопла. Пользуясь найденными величппамн,

1-М*"

Зл —

2л

?л

! 1 I I I

О 0.2 0.4 ч 0,5 0,8 1,0 4

Рис. Пв. Диаграмма распределения обла­стей неустойчивости: для первых четырех гармоник, в зависимости от положения пло­скости горения по длине камеры сгорания.

Можпо построить диаграмму распределения зоп устой­чивого и неустойчивого процесса, в зависимости от поло­жения фронта горения по длине трубы, паподобпе диа­грамм рис. 48. Поскольку слева и справа от зопы горе­ния температура газов одинакова, частота гармоники не будет изменяться при смещении плоскости горення вдоль камеры двигателя. На каждой стоячей волне можно отметить точки, соответствующие приведенным в таблице значениям параметра ф. В таком случае, отмечая, как и в предыдущих главах, области неустойчивости пря­мыми липнями, легко построить диаграмму, приведен­ную на рис. 116, для какого-либо зафиксированного зна­чения г.

Из диаграммы на рис. 116 видно, что если процесс в камере сгорания склонен к вибрационному горению, то оно должно наступить вне зависимости от положения зоны горенпя по длине камеры сгорания. Разпида будет заключаться лишь в том, что в зависимости от коорди­наты фропта горения 0 < < 1 будет возбуждаться та или иная гармоника.

Чтобы ввести дополнительную ясность в этот вопрос, напомним, что в па сто ищем параграфе рассматривается система без потерь. Еслп написать краевое условие у сопла более строго, с учетолі градиента скорости в нем, то, как показано в книге Крокко и Чжепа, демпфирую­щее влияние сонла будет возрастать с увеличением час­тоты колебаний. Поэтому возбуждение высших гармоник становится маловероятным, что характерно и для вибра­ционного горения газовых горючих смесей в трубах (см. гл. VI).

Приведенная па рис. 116 диаграмма напоминает ана­логичные диаграммы рнс. 48, 49 и др. В обоих слу­чаях рассматривается изменение номера возбуждаемой гармоники в зависимости от положения зоны горения по длине трубы. В конце гл. V рассматривалась и обратная задача: прп неизменных свойствах зоны горения и неиз­менной длине горячей части проследить влияние изме­нения общей длины трубы на характер колебаний. Там было показано, что общее удлинение трубы при сохране­нии горячей части ведет к тому, что система переходит к более высоким гармоникам, приблизительно сохраняя неизменной размерную частоту колебаппй.

Аналогичное заключение должно быть справедливым п для жидкостных реактивных двигателей. Это явление фактически наблюдалось Крокко, Греем и Харджем1). Постепенно удлиняя камеру сгорания, онп зарегистриро­вали переход колебаний с основного топа па вторую гар­монику, а со второй на третью, что полностью согласуется с развитой в конце гл. V точкой зренпя.

В настоящем параграфе было дапо лишь элементарное изложение теории высокочастотных продольных акусти­ческих колебаний в жидкостных реактивных двигателях. Интересующимся более полным изложением вопроса сле­дует порекомендовать обратиться к уже упоминавшейся

J) с г о с с о L., fir еу J., Н а г г і j е D. Т., Jet Propul­sion, 1958. № 12.

Монографии Крокко и Чжена и к соответствующим статьям в периодической литературе.

В заключение настоящего параграфа сделаем одно замечание. Во всех предыдущих разделах многократно подчеркивалось, что в конечном итоге причиной возбу­ждения вибрационного гореппя является возмущение теплоподвода пли эффективной скорости распространения пламени. В — случае возбуждения акустических колеба­ний в жидкостных реактивных двигателях основным является возмущение газообразования (возмущение рас­хода некоторого источника массы, расположенного в зопе горения). Следовательно, вибрационное горение может иметь самую различную природу. В общем случае оно может возбуждаться за счет любого слагаемого, входя­щего в систему (15.5) и описывающего процесс внутри области а. Это может быть ЬМ* (рассмотренный только что случай), бQ* (труба Рийке), подвижность фропта пла — менп, т. е. отличие от нуля входящих во все три уравне­ния частных производных от интегралов по объему V (случай, рассмотренный в § 49), возмущение теплотвор­ной способности смеси би полноты сгораппя bqx—bqz (пример, приведенный в § 25). Наконец, возбужденпе акустических колебаний может оказаться связанным с отличием от нуля слагаемого ЬРХ. Этот процесс реали­зуется, например, в тех случаях, когда в зопе а происхо­дит периодический срыв вихрей (без горения). Тогда взаимодействие впхреобразования с акустическими коле­баниями может привести к самовозбуждению колебатель­ной системы. Поскольку этот случай никак не связан с процессом горенпя, оп в книге не рассматривался.

Такое разнообразие прпчпп возбуждения продольных акустических колебаний требует самого внимательного анализа всех входящих в систему (15.5) переменных до того, как будет принята схема идеализации процесса воз­мущенного горенпя.

Coward Н. F., Harfcwell F. J., Georgson Е. Н. М., опт. ої the Chexuicai Socioty, 1482, 1937.

[2] Мог к ТТ. J., Analysis of heat-driven oscillations of gas flows, Appl. Sncni. Ros., 1957, A6, № 4.

Термин механизм понимается здесь и шоке восьма широко. Это обычно ряд физических процессов, объединенных причшшой

СВЯЗЬЮ.

[4]) Настоящей параграф несколько выходит из общего плана главы. Ой помещен здесь, так как задача решается в вем эперге — тичесшш методом.

[5] Здесь и лижр индекс/л «единица» у р, v и о) опускаются.

12*

[6] Индекс «единица» у w далее опускается.

[7]) Напомним еще раз, что при [ v I со решение имеет лишь формальний смысл. Чтобы получить пстивнуто картину повеления системы при параметрах, дающих | v | -> со, следовало бы решить задачу с учетом начальных условий и нелинейных свойств сястсмы.

*) Л. Д. Л а н д а у и Е. М. Л и ф ш и ц, Механика сплош­ных сред, Гостехиздат, 1953.

[9]) Это ограничение может быть легко снято.

—к-

Ческой записью сделапного в самом начале предположе­ния, что на стацпопарный плоский фропт пламепп нало­жено периодическое по времени н по коордпнате у возмущение.

Подставив значения переменпых, записанных в виде равенств (38.9), (38.10) и (38.11), д»яі = 0в условия, связывающие решения для холодного п горячего газов

[11]) См. экспериментальные графики рис. 50. Более подробное изложение этого явления будет дано в следующей главе.

) LoJm 010 условие TU. выполняется, то формула (48.10) ста­новити несколько сложнее II лето получается пз (48.3) в (48 4). Оиычио уеловля (48.Я) выполняются.

[13]) Идельчнк U. К., Справочник до гидравлическому сопро­тивлению фасонных и прямых частей трубопроводов. Издание

Центрального аэрогидродинамического института им. Н. Е. Жуков­ского, 1У50.

[15] N і с h о 1 s о n Н. М., Й a d с 1 і f f е A., Pressure fluc­tuations in a jet engine. Brit. Journ. Appl. Phys., v. 4, N 12, 1953.

J) Luigi С г о с с о and Sin-J Cheng, Theory oЈ Com­bustion Instability in Liquid Propellant Rocket Motors. Butlerworth scientific publications, 1956. Русский перевод: Лупдяш Крокко и Ч ж е н С п п ь-и, Теория неустойчивости горешш в жидко­стных реактивных двигателях, Изд-во ипостр. литературы, Москва. 1958,

[16] С г о с с о L., Grey J., Н а г г і і е D. Т., Jet Propul­sion, 1958, № 12.

32 В. В. Раушепбах