В предыдущей главе было найдено характеристическое Уравнение задачи при отсутствии потерь на концах трубы. Ддесь оудет расСмотрен более общий случай.

Гл. ХХТГРостехТи3Д;К; м, В■!9^01)Д Рэлей>- Те0Рия зв*ка’ т№

Пусть на плоскости 2 (рас. 22) в сечении | = 0 слева бе зраз. мерные возмущения давления и скорости равны соответственно pQ и г»0, а справа — ^ и v’0. Связь между этими возмущениями устанавливается свойствами поверх­ности 2. Поступим далее точно так жо, как это было сделано в § 23. Предполагая некоторую заданную связь между ЬЕ’, ЬХ’ и i>0, pQ и используя равенства (17.5), получим такую форму записи условии на 2:

< = + 1 ^ K = iPv I

Выразим р и v па концах трубы (прп &==&! и Е = !2) через vn, р0 п v’u, p’Q при помощи формул (4.13) и при­меним краевые условия

При 6 = El. j (3

Р = z2v прп I = I,. | В итоге будем иметь:

Кф, (У — Фз (У) + Ра [ЗД! (У — 9j (SI)] = О, v’c ІЗДі (У ^ ф2 (У ] + А [ггфг (У — Фі (У] = о.

Принимая во внимание соотношения (31.1), нетрудно п последних равенствах свести число зависимых пере­менных к двум, например, v0 и ]>{у

В итоге найдем характеристическое уравнение задачи:

ВД>і(У-Ч>8(У *і<Р2 (У-<Рі(У

= 0. (.31.3)

%і [%Фі (У—Фа (УІ+ "и ГгА (У—1Щ (У] + + «гі Wh (У—Фі (У 1 +«22 [гафа (62)—Фі (У]

С использованием соотношении (4.14) и (22.5) из (31.3) Получим:

Сі «р (р^ Р/,) ехр (^гщ Р/„) + С2 ехр (^Лщ
§ 3j] характеристическое уравнение задачи 257 ІДО

С^^-О^-ІЖа + Яй-аи-й-л)’ ^ = (2L + 1 ) — ‘J ) {«,3 +«23 + «11 + «21 )•

Таким образом, полученное характеристическое урав­нение отличается от уравнения (23.5) лишь выражениями для коэффициентов Cj5 С2, Cz и

В предыдущей главе характеристическое уравнение (23.5) приводилось к системе двух уравпенпй (23.7), связывающих только вещественные переменные. Если попытаться сделать это и в рассматриваемом случае, то полученные уравнения будут отличаться большей гро­моздкостью. Дело в том, что теперь уже нельзя пред­полагать вещественность Cj, С8 и С4, поскольку импе — данцьі zy u z.>. вообще говоря, являются комплексными числами. Разделение уравнення (31.4) на систему двух уравнений, отзывающих вещественные переменные, удоб­нее производить уже после подстановки численных зна­чений z2, z, j, (7U, «12, ап и д22.

Из написанного общего уравнения (31.4) легко могут быть получены частные случаи. В предыдущей главе рассматривалось характеристическое уравнение этой же задачи, но в предположении, что на концах трубы рас­положены узлы давления. Узлы давления описываются условием р = 0. Сравнивая это условие с (30.1), видим, что узлу давления отвечает случай z = 0. Точно так же получим, что узлу скорости v = 0 соответствует акусти­ческий импеданц z — со.

_Если комбинировать оба тина краевых условий (р = 0 и у = 0), то всего возможны 4 случая:

П А = 0, = 0; 2) Jh = 0, й2 = 0;

Введем для величин, входящих в формулы (31,5), следующие обозначения:

^ = «12 —«2S —«11 + а2Р

Г2 — а12 — f е.22 — ап — а21,

C3 = alt — a22—an — ai і»

Тогда первому случаю отвечают равенства

С j — — Cj, С2 ~ Cg, = Сд, = — с jj второму —

Су = — с1( С2 = — Со, б’з = Гу, г;.! = с4; третьему —

Cl=cv С2 — — г2, Сз — сч), = — с4 и четвертому —

Ci = Cj, 6г = с2, <С3 = с3, С4 = с4.

Предполагая вещественность коэффициентов cit с3 я анализ свойств колебательной системы во всех этих случаях можно вести точно так же, как был проведен анализ первого случая в гл. V.

Нужно отметить, что столь же простого метода реше­ния и анализа уравнения (31.4) для произвольных значе­нии граничных импеданцев не существует. Главным затруднением при этом является то обстоятельство, что частота со входит в выражение для z (30.8). Поэтому решение уравпення (31.4) может быть получено лишь громоздкими численными методами.