В настоящей главе рассматривается та же задача, что н в предыдущей, опускается лишь предположение об отсутствии потерь акустической эпергии. Потери, которые сопутствуют акустическим колебаниям, можно условно разбить на две группы; потерп внутренние, свя­занные с силами вязкости и теплопроводности, действую­щими внутри трубы, и внешние потерп, связанные с ‘излу­чением колебательной энергии во внешнюю среду. Здесь будет рассмотрен лишь второй из этих типов потерь, при­чем в наиболее простой форме.

Излучение акустической энергии из конца трубьт свя­зано с наличием отличного от пуля потока акустической эиергпп, движущегося из трубы во внешнее пространство. Из выражения для потока акустической энергии через какое-лнбо сечение (11.6) видно, что вопрос о величине п знаке потока А связан с амплитудами бр и 6v и фазовым сдвигом между ппмн. Для определения этих величин в акустике вводят попятне нмнеданца. Его можпо формаль­но определить как комплексный множитель, связываю­щий др и 6 v. Здесь удобнее сразу ввести безразмерный нмнеданц z, связывающий р и v,

P = zv. (ЗОЛ)

Поскольку в разных сечениях стоячей волны р и и раз­личны, то н иыпеданц z будет разлпчпым в зависимости от того, где выбрано сечение. Обычно наибольший интерес представляют импедапцы концевых сеченнй, поскольку излучение энергии во внешнюю среду происходит, есте­ственно, через концевые сечения.

Чтобы выявить физический смысл вещественного и мни­мого слагаемых имнеданца

Г — = г -ИХ (30.2)

Обратимся к неременным и, w.

Введем по аналогии с акустическим нмпеданцем z вели­чину связывающую и> и ш. С этой целыо удобно рас­сматривать и и w в качестве комплексных чисел. Вели­чину £ определим равенством

Ш = £и, (30.3)

Откуда сразу следует, что

1£1 = -Нг[- (30-4)

Вследствие того, что при установившихся колебаниях абсолютные величины и и w между поверхностями раз­рыва 2 не зависят от координаты §> величина |£| будет обладать тем же свойством. Это выгодно отличает £ от имнеданца z, и свойство независимости | Z от £ будет использовано ниже, в гл. VIJJ.

Найдем величину Воспользовавшись равенствами (4.9). (30.1) и (30.4), легко убедиться, что

? = (30-5)

С учетом (30.2) получим:

W= n+yt^ ■ (30-б)

Равенства (11.7) и (30.4) позволяют написать следую­щую формулу для потока акустической энергии А (здесь и ниже и и w вновь рассматриваются как векторы):

(30.7)

Так как все величины, входящие в эту формулу, поло­жительны, то знак А будет всецело зависеть от разности 1— j £ |2. Следовательно, знак потока акустической энер — гни целиком определяется модулем При | £ I > 1 поток акустической энергии отрицателем, т. е. направлен про­тив течения, прп ]£|<1 — положителен (направлен но течению).

Модуль £ зависит от величин вещественной и мнимой части акустического нмпеданца z. Из акустики известно, что вещественная часть нмпеданца г определяет активное сопротивление акустической системы, а мнимая часть х — реактивное сопротивление. Потери, очевидно, свя­заны с активным сопротивлением. Это ясно, в частности, из формулы (30.6), которая показывает, что отлпчпе модуля £ от единицы связапо с величиной безразмерного коэффициента активного сопротивления г. Прн r = 0 | £ | =1 и акустическое излучение энергии из конца трубьг, как ото следует из формулы (30.7), отсутствует. При /’>0 | £ |<1, при 7-<0 11, >1, т. е. разным знакам г соответствуют противоположные направления движения потока акусти­ческой эпергии. Следует всегда помнить, что имиеданцы Zj и z2, соответствующие разным концам трубы, имеют разные знаки действительных частей. Импеданц z2, соот­ветствующий сеченпю, через которое истекают горячие. газы, имеет положительные?■ (излучение идет в положитель­ном направлении оси §), импедапц zx — отрицательные. В соответствии с этим | £21 < 1, т. е. поток акустической энергпн у выходного сечения движется по течению, из трубы в окружающее пространство, а | ^ | > 1, т. е. поток акустической энергии у входа в трубу движется против течения, следовательно, тоже из трубы в окружаю­щее пространство. Это говорит о том, что акустическая энергия рассеивается из обоих концов трубы.

При решении задачи с учетом потерь акустической энергии в окружающем трубу пространстве будут исполь­зоваться оба способа учета этих потерь: при помощи лмпеданца z и прп номощп коэффициента Выбор того или другого способа будет определяться характером рас­сматриваемой задачи.

В заключение следует привести формулы, позволяю­щие производить фактическое определенпе пмпеданцев. Прп пзораппой выше системе безразмерных переменных ооа слагаемых безразмерного нмпеданца z (30.2) совпадают с принятыми в акустике. Можно, например, восиолъзо — ваться приближенными формулами, предложенными Гутиным1):

. _ КЧ* х = hL ‘ ~~ 16 ‘ л ‘

Где d — диаметр трубы, к — волиовое число (отношение частоты к скорости звука).

Для дальнейшего использования этим величинам удоб­нее придать несколько иной вид. Представив волновое число в виде

Пол учим для z выражение

Величины имиеданца z, полученные по формуле (30.8), можно применять лишь при достаточно малых значениях j to. Произведенная оденка показывает, что для рассма­триваемых в настоящей книге «длинных» труб и для первых d

Гармоник условие малости j со всегда выполняется.

В тесной связи с вопросом об излучении акустической анергии в окружающее пространство находится вопрос о так называемом «эффекте открытого конца».

Обычно краевое условие у открытого конца записывает­ся либо в виде равенства (30.1), либо, при мепее строгом рассмотрении, в виде 0. В последнем случае делается предположение, что в концевом сечении открытого конца трубы колебаний давления не происходит. Это предполо­жение использовалось еще Лаграпжем, Эйлером п Берну. ч — ли, однако работы акустиков XIX столетня показали, что его можпо применять только с известными оговорками.

!) Фурдуев В. В., Электроакустика, Гостехнздат, 1948, стр. 111. Следует заметить, что приведенные формулы получены для покоящейся среды. Влиянием скорости течения па концевые импедаяды здесь и далее пренебрегастся. Поэтому получаемые ниже результаты справедливы для достаточно медленных течений, в остальных случаях вх можно считать правильными лишь каче­ственно.

Теоретическое решение задачи об отражении акустиче­ского импульса от открытого конца трубы усложняется тем, что плоская волпа, движущаяся ио трубе, становится сферической (лучше сказать, перестает быть одномерной) вне трубы. Однако для ряда конкретных схем теоретиче­ские решения были получены н, кролю того, были постав­лены соответствующие опыты. Обзор этих исследований дан, в частности, Рэлеем1). Не приводя здесь подробных выкладок, укажем лишь на два обстоятельства, которые следует учитывать при написании краевых условий для открытых концов трубы.

Во-первых, колебательный процесс у открытого конца всегда вызывает рассеивание акустической энергии в окру­жающем пространстве. При этом указанное рассеяние связано не с переходом акустической эпергии в тепло, а с передачей механической (акустической) энергии внеш — ппм по отношению к трубе массам окружающей среды. Это явленпе и учитывалось, по сути, формулами, приве­денными в настоящем параграфе.

Во-вторых, если даже пренебречь рассеянием энергии, то эффект пнерцнн среды перед устьем трубы сводится к кажущемуся удлинению трубы. Возбуждаемые в трубе частоты несколько ниже тех, которые былн бы получены в случае реализации ядеальпой схемы. Поэтому для учета этого явления принято несколько увеличивать в расчетах длину трубы, чтобы получить лучшее соответ­ствие с опытом. Рэлей рекомепдуот увеличивать расчет­ный размер трубы на величину порядка 0,3 диаметра трубы для открытого конца.

Ниже, при проведении всех расчетов, будет предпо­лагаться, что эта поправка уже внесена и вопрос об «эффекте открытого конца» больше обсуждаться не будет.