ВОЗБУЖДЕНИЕ КОЛЕБАНИЙ ТЕИЛОПОДВОДОМ ПРИ ОТСУТСТВИИ ПОТЕРЬ

Настоящая глава посвящена решению задачи об устой­чивости точения подогреваемого газа в предположеппн, что акустическая энергия ие излучается из кондов трубы и, следовательно, не рассеивается в окружающем про­странстве. При теоретическом анализе термического воз­буждения звука такое предположение делается почти всегда, так как оио с известпым приближением справедли­во для случая возбуждения низких частот, представляю­щих осповной интерес. Приближенная постановка задачи позволяет во многих случаях получить обозримые анали­тические результаты, в основном справедливые и при бо­лее общих предположениях о рассеивании акустической энергии. Здесь не будет проводиться оценка допустимости сделанного предположения, поскольку в следующей гла­ве рассматривается аналогичная задача с учетом потерь эпергпи на концах трубы.

В отличпе от предшествующих глав, где по сути рас­сматривались элементы процесса возбуждения акусти­ческих колебаний теилоподводом (распространение про­дольных акустических возмущений по трубе, вопросы изменения этих возмущений при пересечении ими области теплоподвода), здесь будет дано рассмотрение задачи в це­лом, с использованием полученных выше результатов. Однако прежде чем приступать к решению поставленной задачи, надо сделать одпо замечание.

Во всех предыдущих рассуждениях, когда на основании эпергетических соображений строились границы устой — чпвости, постоянно отсутствовало одно логическое звепо. Все полученпые выше результаты в конце концов своди­лись к утверждению, что еслп соотношеппя между фазами и амплитудами колеблющейся системы и процесса тепло­подвода соответствуют определенным условиям, то система возбуждается. Точнее говоря, доказывалось, что если про­цессы в зоне теплоподвода пмеют определенный колеба­тельный характер, то в системе возбуждаются акустиче­ские колебания. Одпако чтобы процесс замкпулся, надо еще показать, что акустические колебания среды в свою очередь приводят к колебательным процессам в зоне те­плоподвода. Наличие этой обратной связи сделало бы воз­можным самовозбуждение колебаний в спстеме. Это можпо показать путем такого качественного рассуждения: пусть в спстеме возникло слабое акустическое возмущение — оно привело к возмущению в зоне горенпя — в резуль­тате возникло новое акустическое возмущение, которое сложплось с предыдущим и усилило его, — успленпое акустическое возмущение привело к усиленному воздгу — гцению процесса в зоне горепия — последнее вновь дало дополнительное усиливающее акустігческое возму­щение и т. д.

Следовательно, к уже доказанным выше положениям, что колеблющийся процесс горения способен вызвать аку­стические колебания, надо добавпть доказательство того, что акустические колебания в свою очередь способпы вы­звать колеблющийся процесс горенпя. Существование этой обратной связи является чрезвычайно важным моментом в цепп рассуждении. Если обратиться к апалпзу физиче­ских процессов, лежащих в основе возникновения обратной сня. чн, то окажется, что их довольно много, оня сложны и достаточно разнообразны. Это делает необходимым по­святить вопросу о механизмах обратной связп специаль­ную главу книги (гл. VII). Чтобы уже здесь придать па — глядпость этим рассуждениям, полезно дать какой-либо пример явления такого рода. Укажем с этой целью на поч­ти ^очевидный факт: акустические колебания связапы с ко­лебаниями скорости течения, а скорость течения влияет, как известии, на процесс горепня (изменяет конфигурацию фронта пламени, изменяет скорость сгорапия и т. п.). Таким образом, колебания скорости течения, вызванные акустическими явлениями, порождают в свою очередь ко­лебательное горение.

Ниже будет показано, что приведеними пример не ис­черпывает всей массы возможпых мехапизмов обратпой связи, однако его упоминание здесь необходимо для того, чтобы показать, что механизмы обратной связи фактиче­ски существуют и что поэтому все предшествующие рас­суждения не были беспредметпыми. Кроме того, указапие на важпость этого звепа в процессе возбуждения колеба­ний заставит читателя более внимательно следить за пред­положениями, которые будут делаться в ходе дальнейшего изложения и которые всякий раз в явном или неявном виде будут содержать какое-то допущение, эквивалентное вве­дению обратпой связи.

Рассмотрение вопроса о возбуждении колебаний в тру­бе без потерь па концах целесообразно начать с уже из­вестных простейших случаев, которые характеризуются реализацией элементарных процессов в зоне теплоподво­да, с тем, чтобы применить к ним новый метод решепил.

Примем, для определенности, что па концах трубы рас­положены узлы давлення. Пусть плоскость теплоподво­да 2, эквивалентная области теплоподвода о, располагается па расстояниях и £2 от концов трубы. Расположим на­чало координат в сечении, совпадающем с 2, так что левый конец трубы будет иметь коордппату < 0, а пра­вый |2 > 0.

Краевые условия запишем в следующем виде:

Тогда пз решения (4.13) получим:

ВОЗБУЖДЕНИЕ КОЛЕБАНИЙ ТЕИЛОПОДВОДОМ ПРИ ОТСУТСТВИИ ПОТЕРЬ

(22.1)

Здесь Vj, pv v.2 и /;2 —значения возмущений v п р в сече­нии | = 0, соответственно слева и справа от поверхности 2.

Начнем рассмотренпе задачи с того случая, когда процесс в зоне теплоподвода характеризуется условием

Из канонпческой формы записи условий на 2 (17.1) следует, что при 6£ = бХ = 0 — p1 = mpg. Но тогда система (22.1) становится линейной и однородной относи­тельно рг п v2- Она будет иметь нетривиальные рсшеппя при условии

I Ф2 (У ф] (У I ~

Получениоагу характеристическому уравнению системы прп <р2 ф 0 можпо придать следующий вид:

= (22.2)

<Р»(Ь) Фа С Єї) Восполъзомпшиеь формулами (4.14), получпм, полагая P = V + !’M:

(22.3)

Фа Ш і. 4VE „ 2ve 2©І

™ і _u exp 2-=— 2 0XU — j cos —, ~

1 1— Ml r 1 — M2 1—ML

Знаменатель получеішого выражения всегда больше пуля (так как случай ср2 = 0 исключен пз рассмотрения). Если учесть, что п и т в уравпеппи (22.2) — чпсла положи­тельные по определению, то, ограничившись пока рас­смотрением лишь вещественной части уравнения (22.2), сразу получим:

С (1 — exp — D (1 — «р — j^jhj.) = 0, (22.4)

Где С и D —некоторые положительные числа.

Прежде чем приступить к анализу полученного соот­ношения, обратим внимание на одпо важпое обстоятель­ство. Стоящие в показателях степени величппы Vj и v2 пли, в более общем случае, комплексные частоты и {32, входящие в функции ф15 ф3 и ф3, различны для «холод­ного» и «горячего» участков трубы. Это связано с тем, что для используемой в настоящей книге системы безраз­мерных переменных (4.8) масштабы времени — различны по разные стороны 2 вследствие измепення скорости звука а при подогреве газа. В то же время физически очевидно, что размерная частота колебаний должна быть единой для всей трубы. Основываясь на этом, нетрудно установить связь между и

= (22.5)

Следовательно, между v-, и v2 будет существовать ана­логичное соотношение:

1

Vo = — vi. /і 1

Теперь равенству (22.4) можно придать более удобный вид

Рассмотрим соотношение (22.6) более подробно. В нем

Величины Су D, .. ^ ж, положительны. Коор-

‘ п (1—М|) 1 —МI дина ты узлов давления и |4 имеют разные знаки: ^ < О и е3 > 0. Следовательно, оба слагаемых левой части урав­нения (22.6) имеют одинаковые знаки, независимо от зпа — ка v. Равенство пулю этой суммы возможно лишь в том случае, если каждое слагаемое в отдельности равно нулю. Отсюда сразу находим:

Vj = 0.

Таким образом, здесь получен тот же результат, что и выше, при энергетическом рассмотрении задачи: если ЬЕ — ЬХ = 0, то возникают нейтральные колебания. Сле­дует заметить, что в настоящем параграфе этот вывод получен лишь для частного вида краевых условий — узлов давления иа концах трубы. Однако его легко распростра­нить и на более общий случай. Пусть слева и справа от 2 в некоторых (необязательно концевых) сечениях и І2 будут располагаться не узлы давления, а узлы скоро­сти или узел скорости с одпой, а узел давлення с другой сторопы. Йзмопение краевых условии указанным здесь образом приведет к характеристическим уравнениям типа (22.2). Отлично будет сводиться к ‘тому, что вместо отно­шений функций — в уравнения войдут отношения — либо

Т2 фі

Ф. ф2 ~

Одновременно ~ и —. Однако из теории комплексных чисел известно, что знаки вещественных частей комплекс — пых чисел z и — одиттаковы. Поскольку приведепный выше вывод основан именно на рассмотрении знаков вещественных частей фупкцни он будет справедлив

., Ф2

И для характеристических уравнении, содержащих —

Фі Фз или — и — одновременно. ф2 фі

Полученный здесь результат, как уже указывалось, пе нов. Однако сравнивая использованный в настоящем параграфе метод решения задачи об устойчивости течения подогреваемого газа с развитым рапес энергетическим методом, можно указать па известные преимущества рас­смотренного здесь способа решения. В отличие от энер­гетического метода прямое решение характеристического уравнения позволяет найти, в частности, частоты колебаний.

Действительно, верпемся к уравпепито (22.2). Исполь­зуя формулу (22.3), наппшем теперь второе следствие из уравнения (22.2), приравняв нулю его мнимую часть. При этом учтем, что v = 0, п примеппм известное тригонометри­ческое тождество

Sin а __ и^ 1 —cos u ~~ k 2

Тогда получим

Уравнение (22.7) позволяет найти дискретный ряд частот со, удовлетворяющих характеристическому урав­нению.

Пусть теперь процесс в зоне теплоподвода характери­зуется условием ЬХ = 0. Это соответствует рассмотренному в предыдущих главах первому элементарному процессу. Тогда условия па 2 (17.1) примут следующий вид-.

Vx = пщ — ЬЕ, }

(22.8)

Pi = *прг )

Чтобы связать явным образом величину ЬЕ с фазой колебания, примем, что

&Е = ур1, ‘ (22.9)

Где у—некоторое комплексное ЧИСЛО.

Введенный здесь чисто формальным образом комплекс­ный коэффициент у имеет глубокий физический смысл. Запись равенства (22.9) является формальным введепием той обратной связи, о которой говорилось в пачало цастоя- щего параграфа. Пусть физический процесс в зоне горе­ния остается неопределенным, но равенство (22.9) указы­вает, что колебания даплеппя рх вызывают соответствую­щий колебательный процесс в зоне теплоподвода.

Действительно, поскольку 6Х = 0 110 условию, то ЬЕ вполне характеризует возмущения процесса теплоподвода в той мере, в которой это нужно для решения задачи. Равенство (22.9) показывает, что эти возмущения связаны с возмущениями и, следовательно, если рг будет коле­баться, то колебаться будет и ЬЕ, причем с той же частотой. Величина у однозпачно определяет соотношение между амплитудами ЬЕ п р, (модуль числа у) и фазовый сдвиг между ніш и (аргумент числа у).

Воспользовавшись равенствами (22.8) и (22.9), вернемся к уравнениям (22.1). В рассматриваемой! случае характе­ристическое уравнение рассматриваемой системы будет отличаться от уравпения (22.2) лишь правой частью:

«ЗШ-тШ^ — ту. (22.10)

Фг (!*) Фа (Si) J К ‘

Ограничившись, как и выше, рассмотрением веществен­ной части уравпенпя (22.10) и приведя те же рассужде­ния, что и при получении равенства (22.6), напишем соотношение, определяющее вещественную часть числа у.

Нв(унЖехртаГ О + К1-^!^?)]-

(22.11)

Анализ этого равенства, основанный па том, что * — * положительны, в то время как gL < О

N(l— Ml) 1—М±

А > 0, показывает, что величины, стоящие в круглых скобках, имеют тот же знак, что н vr Но тогда, учиты­вая, что т, С и D тоже положительные величины, можно утверждать, что вещественная часть числа у имеет знак, совпадающий со знаком vv

Если вернуться к равенству (22.9), то становится очевидпым, что знак вещественной части у определяет фазовый сдвпг между ЬЕ и pv Вчастпостп, положитель­ный знак Re (у) говорит о том, что сдвиг но фазе между

БЕ и р{ меньше по абсолютной величине, чем, в то время как отрицательному значению Re (у) соответ­ствует фазовый сдвиг, лежащий между ~ и л.

Сопоставив этот результат с полученным в § 12 усло­вием возбуждения в первом элементарном процессе, сразу видим пх нолпое совпадепие: система возбуждается (v > 0), если сдвиг по фазе между ЬЕ и рх по абсолютному значе — л

НИЮ менее "2" •

Точно так же, как п в рассмотренном выше случае, в силу совпадения знаков и этот резуль­

Тат распространяется на более общий случай.

Совершенно аналогично можно было бы получить и свойства второго элементарного процесса.

Как видно из материалов настоящего параграфа, выводы, полученные ранее нри анализе энергетических соотношений, могут быть получены и непосредственно, путем решения характеристического уравпения. Сравнивая эти два способа, следует сказать, что если энергетические методы несколько проще и отличаются большей нагляд­ностью, то решение характеристического уравнения позво­ляет не только найти условпя возбуждения, но дает воз­можность численного определения частот колебаний и декрементов (инкрементов) убывания (возрастания) коле­баний.

В частности, приравняв вещественную и мнимую части уравнения (22.10) порознь пулю, можно было бы напи­сать два уравнения, связывающие только вещественные 12 Б. в. Раугпенбах

^(V,; ш1) = 0.

Совместное решепие этих двух уравнений позволило бы найти пары значений Vj и удовлетворяющих характе­ристическому уравнению (22.10). Здесь это не делается, так как песколько ниже аналогичная задача будет решена для более общего случая.

Комментирование на данный момент запрещено, но Вы можете оставить ссылку на Ваш сайт.

Комментарии закрыты.


gazogenerator.com