Решение (4.13) показывает, что в каждой точке трубы давление н скорость колеблются одинаковым образом во времепн. При этом амплитуды колебанпй могут быть разными и зависят от координаты Движенпе такого типа принято называть стоячей волной. Сечения, в кото­рых перемепные р и v во все моменты времени равны нулю, называют узлами стоячей волны, а сечения, в кото­рых р и v достигают наибольшего значения — пучностями.

Осуществленное в предыдущем параграфе представле­ние произвольного возмущения в виде сумм (5.5) можно теперь истолковать как получение произвольного вида возмущения путем суперпозиции (наложения) стоячих во л п.

Из сказанного видно, что стоячие волпы колебаний представляют значительный интерес п более подробное рассмотрение нх свойств является необходимым.

Каждой гармонике (каждому значению ©)" соответ­ствует своя стоячая волна. Если графически изобразить изменение амплитуд колебаний в функции координаты то получится волнообразпая кривая, приходящая к осп | в узлах и достигающая максимумов в пучностях. Мз фор­мул (5.5) видно, что каждая стоячая водна (слагаемое под знаком суммы, соответствующее некоторому К) склады­вается из двух периодических функций перемеппой

(6-і)

Для некоторой стоячей волпы, соответствующей задан­ному /с, будем иметь:

Vji [e~l _J_ pi (i+Af) /mij ei (3-Л/2) bn

P^ _ J_ ^^ [fi-i (1-М) hnl _ gi (H-W) Лл^ (Л f l-Jtffi) Jlnr

Найдем амплитуды vk и pk, понимая под этим абсолют­ные зпачения комплексных переменных vk п рк. Если вспомнить, что абсолютное значение произведения комп­лексных чисел равно произведению абсолютных значений сомножителей, а абсолютное значение показательной функ­ции с мнимым показателем всегда равно единице, то

Vk | = 11 лгк eiMh^ ] —

= | Льк Ц cos кл [,

‘ ■ | А* II (e~ihnl — eik7Xl) I =

(«.2)

І Рк

= I Avk\ sin/ті |.

Полученные выражеппя указывают па два важных свойства стоячих волн v и р. Во-первых, пучностям р соответствуют узлы v п наоборот, причем узлы распо­ложены на одинаковом расстоянии от соседних лучпостей, а пучности на одинаковом расстоянии от соседних узлов. Во-вторых, амплитуды и являются яернодиче-

Екпмн функциями координаты

Поскольку амплитуды стоячих волн оказались перио­дическими функциями координаты можно ввести поня­тия о длине волны возмущения. Будем называть длиной

Стоячей волны удвоенное расстояние между узлами дав­ления или узламн скорости. Длина волиы определена как удвоенное расстояние между узлами для того, чтобы новое определение совпадало прп М = 0 с общепринятым в акустике неподвижном: среды. Из приведенного определе­ния следует также, что расстояние между узлами давле­ния и соседппм узлом скорости равно четверти длины волны.

Как видно из сказанного, многие свойства стоячих волн в движущейся среде совпадают с соответствующими свойствами стоячпх волн в трубах, заполненных непо­движным газом (пли свойствами стоячих волп на струпе). Однако между ними есть и различия. Если в неподвижной среде стоячая волпа характеризуется тем, что во всех сечениях фазы колебания совпадают, то для стоячих волн в движущейся среде это свойство теряет силу.

Формулы (6.І) можно записать в следующем виде:

Ък = Aalc cos * 1 — и2) ч |

P,=—iAvk sin knleih*J

Напомним, что если представлять колебательный про­цесс, пользуясь комплексными переменными, то равен­ство фаз выражается как равенство аргументов комплексных чисел. Очевидно, что постоянные множители Avk и і одинаковым образом влияют на аргументы vk и рк для всех с, ит. Кроме того, выражения cos/«t| и sin кгі£, являются вещественными и поэтому их аргументы не зави­сят от | и т. Следовательно, пзменеппе аргументов при изменении і и т может происходить только в связн с пзмепеїгием аргумента выражения

Eihx[Mt+(l-Mb т] _

При М = 0 (яеподвижпая среда) аргумент этого выраже­ния зависит только от т. Следовательно, при задапвом т = т( аргументы vk и соответственно рк для всех s оди­наковы. Поэтому в ненодвпжлом газе фазы колебаний для всех £ совпадают.

При М Ф 0 (движущаяся среда) аргумент рассматри­ваемого выражения зависит не только от т, но и от | 4 б. В. Раушенбах том сильнее, чем больше М. Прп заданном t = Tj аргу­мент ок (п рк) есть линейная функция I. Разность фаз колебаний в двух сечениях | = и g = равна

И но зависит от времени, /

Если вдуматься в этот формальный вывод, то он ока­жется вполне естественным. Действительно, стоячая волна в неподвижной среде характеризуется совпадением фаз колебаппй во всех сечепиях. Если такие колебания воз­никают в движущемся газе, то онп будут стоячими отно­сительно среды, и поэтому узлы п пучности будут дви­гаться со скоростью среды. В рассматриваемой задаче, в соответствии с краевыми условиями (5.1), узлы должны быть пеподвпжны относительно стенок трубы и поэтому волпа должна «бежать» против потока со скоростью дви­жения потока относительно стенок трубы. Следовательно, нельзя ожидать полпого совпадения свойств стоячих волн в трубах при покое пли движении средьт. Как показывает проделанный анализ, при движении узлов относительно среды возникает фазовый сдвиг между колебаниями, про­исходящими в разпых сечепиях.

Формулы (6.2) показывают, что эпюры амплитуд (абсо­лютных величин) стоячих воли v и р изображаются отрез­ками тригонометрических функций sin и cos. Эти эпюры ноказапы па рпс. 6, где даны четыре первые гармоники. Видно, что при колебаниях по основному тону (первой гармонике) на длипе трубы помещается половина длины волны, второй гармонике соответствует полная длпна волны, третьей — полторы длины волпы п т. д. Чем больше номер гармоники, т. е. чем больше частота колебаний, тем большее количество полуволн помещается па длине трубы.

При построении эпюр было принято, что = 1

Для всех гармоник. Как уже было показано выше, факти­ческие величины Агк определяются из пачальных условий.

Глядя на кривые, приведенные на рпс. 6, не следует забывать, что опи дают лишь абсолютные велпчипы амплп — туд, в то время как фактически колебапия и п р сдвинуты по фазе. Формулы (6.3) показывают, что этот сдвиг равен

І [у абсолютной величине ™ (множитель і во второй фор — муле). Чтобы дать более наглядное представление о ха­рактере колебаний скорости ы давления, на рис. 7 при­ведены кривые v и р для первой гармоники в различ­ные моменты времени т. Кривые построены для малых

И И

Рис. 6. Эшоры стоячих волп | и | и | Р 1 для пер­вых четырех гармоник (труба, открытая с обоих концов).

М уул^у: алла

Скоростей течения (М < 1) и поэтому на них не проявляется сдвиг между фазами колебания в различных сечениях, о котором шла речь выше.

Как видно из приведеппых графиков, моментам наи­большего возмущения скорости соответствуют моменты практически полпого отсутствия возмущений давления, и наоборот. Физически происходящее явление может быть легко пояспепо следующим образом. В момент т=0 в ле­вой части трубы возмущения скорости положительны, а в правой отрицательны. Следовательно (положительное направление оси |— вправо), в левой части трубы массы воздуха получают дополнительное движение вправо, а в правой половине трубы — влево. Таким образом, массы воздуха как бы устремляются к центру, что и вызывает после их «столкновения» и гашения возмущении скорости повышение давления в средней части трубы в Момент т = "2* • Далее сжатый в центре воздух устремляется в области более низкого давления (к концам трубы),

В момент т=1 возмущение давления исчезает, но движу­щийся но инерции газ (влево в левой части трубы и впра­во в правой) приводит в момент т = -|- к появлению наиболь­шего разрежения в центральной части трубы. Воздух v Р

Ряс. 7. Эпюры мгновенных значений у и р для первой гармоники (труба, открытая с обопх кондов).

Вновь устремляется в область пониженного давления (на этот раз к центру трубы), н весь цпкл повторяется.

Эшоры, приведенные на рпс, 7, построены для очень малых значений средней скорости течения. Чтобы проил­люстрировать влияние этой скорости па характер коле­баний, в частности показать возникающий между фазами колебания в разных сечениях сдвиг, иа рпс. 8 приведено изменение р в момеит времени, близкий к т = 0,5 для Л/=0 и М = 0,2.

Все сказаиное до сих пор касалось колебании в трубе, открытой с обоих концов (краевые условия р = 0 для I =0

Рпс. 8. Эширы мгнивоіншх зпаченяй р для первой гар. монпки (труба, открытая с обоих коїщив) при іИ=0 и. М = 0,2.

И с, =1). Другим классическим случаем, обычно рассма­триваемым в акустике, является возбуждение колебапий в трубе с одним закрытым концом. В этом случае краевые условия можно записать (поместив закрытый конец трубы слева) в следующей форме:

V = 0 при | = 0; р = 0 прн £=!•

Тогда первое краевое условие дает, согласно формулам (4.13) н (4.14), А= 0, а второе Л„<Рі(1) = 0.

Отбрасывая тривиальное решение А р = 0, находим усло­вие, нрп котором фі (1) = 0> воспользовавшись первым равенством (4.14):

Положим, как это делалось выше, p = v + и после ряда несложных преобразований получим:

V = 0, |

Ш = (1-Л(к = 1, 3, 5, …). J (6’4)

Сравнивая эти выражения с аналогичными формулами (5.4), найденными выше, видим, что колебания и в рас­сматриваемом случае остались гармоническими, не часто — ты их изменились.

Первая гармоника (основной тон колебания) характе­ризуется вдвое меньшей частотой, а высшие гармоники связаны с основным топом не отношениями частот, про­порциональными ряду натуральных чисел 1:2: 3:…, а отношениями частот, нронорцпопальпымн ряду нечет­ных чпсел 1:3: 5,… Таким образом, у трубы, открытой с двух концов, частота второй гармоники вдвое выше частоты основного тона, а у трубы, закрытой с одного кон­ца, втрое выше частоты осповиого тона.

Если рассматривать стоячие волпы в трубе с одним закрытым концом, то большинство выводов, полученных в настоящем параграфе, может быть легко распространено п на этот случай. Разница будет лишь в том, что частоту для Лг = 1 надо будет всюду взять вдвое меньшую, вели­чина к сможет принимать лишь нечетные значения, а вместо амплитуд Arh войдут Арк и произойдет связан­ная с этим смена ролей функций срх (|) и ф-2(|).

В частности, вместо формул (6.2) будем иметь:

Kl = i-Vl|4n*?|. I

I

‘ 2~

(6.5)

Ia1 = 1*v! icos

Вместо формул (6.3) следующие выражения:

(6.6)

Пользуясь этими выражеииями и положив Л^ — 1, легко построить эпюры амплитуд колебаний (6.5) для различных гармоник, подобно тем, которые были приве­дены на рис. 6. Такое построение для трех первых гармо­ник дано на рис. 9. Эти эшоры показывают, что при коле-

№

Рис. 9. Эпюры стоячих воли | V | Б ] р для трех пер­вых гармоник (труба, открытая с одного коща).

Баниях по основному тону (первой гармонике) па длине трубы помещается четверть длины волны, при колебаниях по второй гармопике — 3/4 длины волны, третьей гармо­нике соответствует 1J/4 длины волны и т. д.

Если говорить не об абсолютных величинах амплитуд возмущепий, а о мгновенных значениях возмущений давления и скорости, то следует воспользоваться форму­лами ((>.0), наиося на график лишь веществеииые части получаемых величии. Тогда для основного топа, взятого для примера, будет получена прп М—0 картина колебаний, представленная на рис.- 10. Кдк и в случае акустических колебаний, в трубе, открытой с двух концов, между коле­баниями скорости и давления имеется сдвиг по фазе па, а моментам наибольшего возмущения скорости соответст­вуют моменты отсутствия возмущений давления, н наобо­рот. При желании нетрудно построить и для этого случая
графики, аналогичные приведенным на рис. 8, т. е. учесть сдвиги фаз при МФ0.

Упомянутый здесь сравнительно малый в обычных условиях сдвиг по фазе связан с наличием течения по

Рис. 10. Эпюры мгновенных значений v к р для первой гармоники (труба, открытая о одного конца).

И Р

Трубе со средней скоростью, неравной нулю. Существова­ние такого течения может показаться странным для трубы с одним закрытым кондом. Следует иметь в виду, что за­крытый с акустической точки зрения конец трубы может быть вовсе не закрытым с других точек зрения. Пример такого рода дает оппсаиный в гл. X предтонок, работаю­щий па нылеугольном топливе. Здесь можпо привести другой пример, по-видимому, более наглядный. Пред ста-
вші себе, что у закрытого конца трубы расположены фор­сунки, подающие через весьма малые отверстия жидкое горючее и жидкий окислитель. Указанные компоненты топлива, вступая в реакцию горения, дают поток газо­образных продуктов сгорания, движущихся по трубе к ее открытому концу. Таким образом, в подобной трубе, являющейся простейшей идеализацией жидкостного ре­активного двигателя, будет наблюдаться непрерывный ноток газов при налнчпн закрытого (для газов) конца у трубы.

В заключение обратимся к рассмотрению периодов акустических колебании. Численное значенпе периода колебаний для обоих рассмотренных типов труб легко получить, зная безразмерные частоты колебаний, приве­денные в формулах (5.4) и (6.4), поскольку связь между периодом колебаппй Т п частотой ш дается известной формулой

Г-. (6.7)

Одинаково годной как для размерных, так и для безраз­мерных переменных.

Однако здесь можно нрнвеетп п более наглядный способ получения нужных формул. Период колебаний связан с длиной волпы и скоростью распространения возмущений известным простым соотношением. Для неподвижного газа скорость возмущений равна скорости звука а и по­этому

Т=±, (6.8)

Где X — длина волны.

Если вспомнить, что для труб с открытыми копцами длина волны равна удвоенной длине трубы, а для труб с одним закрытым концом — учетверенной, то сразу получаются простые формулы:

Н Г = —. (6.9)

Иногда говорят в связи с этим, что период колебаний в первом случае равеп времепи, необходимому для дви­жения звуковой волны вдоль трубы и обратно, а во втором случае говорят о двукратном движении звуковой волны в обоих направлениях.

Приведенные формулировки нельзя рассматривать как простые правила для запоминания; они отражают физи­ческую сущность процесса, которую легко уяснить, обра­тившись к решепию, записанному при помощи перемен­ных и И W.

Анализ системы (4.6), приведенный иа странице 37, показал, что акустические импульсы а и w движутся по трубе в разпых направлениях со скоростью и vQ— а

Соответственно. Следовательно, расстояние, равное длине трубы L импульс и. пройдет в положительном паправленпп L

За время —:— , а импульс w в отрицательном нанрав — a—v о

Лепии за время -——. Краевое условие, соответствую­щее открытому концу (узлу давления) Ьр=0, выражен­ное ирн помощи переменных и, w, будет иметь следую­щий вид (4.5):

A = w, ((i. IO)

А краевое условие, соответствующее закрытому концу трубы (узлу скорости) 6i>=0,

И = — W. (6.11)

Пусть некоторый единичный акустический импульс и1 двинулся в положительном направлении вдоль трубы с от­крытыми концами. Дойдя до правого конца трубы, он «отразится» от пего по краевому условию (6.10) и влево двинется импульс Wi той же интенсивности. Дойдя до левого копца трубы и отразившись от него по тому же краевому условию (6.10), импульс wl вповь вернется к первоначальному зпачепшо иг, после чего указанный цикл будет повторяться неограниченное количество времени.

В трубе с одним закрытым копцом (иаирпмер, слева) процесс в своей начальной стадии ничем не будет отли­чаться от описанного. Однако, когда отраженный от открытого копца трубы импульс wz достигнет левого (закрытого) копца, он отразится уже по краевому условию (6.11) п вправо двинется импульс —Mj. Затем последует отражение от открытого конца, влево пойдет импульс —шт и только после второго отражения от закрытого конца впра­во двипется первоначальный импульс uv

Такнм образом, весь цикл, после которого система приходит в исходное состояние, сводится в трубе с двумя открытыми концами (или двумя закрытыми концами) к однократному движению акустического импульса в обоих иаправленнях трубы, а в трубе с одним закрытым и одним открытым коицом — к двукратному движению в обоих направлениях.

В связп со сказанным период колебаний для трубы с двумя открытыми или закрытыми концами определится равенством

П для трубы с одипм закрытым иодиим открытым кондом L L L L 14 L

-М’

(6.13)

Сравнивая формулы (С.12) и ((3.13) с полученными ра­нее для нонодвижиой среды формулами (6.9), видим, что при движении среды периоды колебаний отличаются множителем ^ 1 , близким к единице прп достаточно малых скоростях течения (Ма < 1).

Таким образом, периоды колебаний для акустических систем с движущимся газом в простейшем случае, рас­смотренном выше, можно в нервом приближении рас­считывать, ие и рипим а я во внимание средней скорости те­чения.

Этот результат, конечно, можно было получить и сразу, воспользовавшись формулами для частот колебаний (5.4) и (6.4), пз которых видно, что частоты для М=О н М ф О отличаются лишь тем, что во втором случае в формулах для ш появляется мпожитель (1-М2).