Будем рассматривать следующую идеализированную схему процесса. Цилиндрическая труба АВ делится об­ластью а на две части (рис. 16). Слева от области о распо­ложена входная часть трубы, по которой вправо движется

Рис. 16. Расчетная схема для вычис­ления потоков акустической эиергпи.

Холодный газ. Область о является областью теплоподвода. Здесь не будет уточняться, какой именно, физический пли химический процесс приводит к подогреву газа, 5гс ловимся только, что тепло сообщается одновременно и в одинаковых долях всем молям газа, пересекающим данное неподвиж­ное сечеппе, лежащее внутри ст, Это предположение поз­воляет считать течение одломерпым и внутри а. Так как тепло может подводиться в каждом сечении внутри обла­сти ст, то будем считать, что газ подогревается постепенно, по мере движения внутри этой области. Часть трубы, лежа­щая правее области а, заполнена подогретым газом, движущимся к выходному концу В. Па концах А и В рассматриваемой трубы выполняются некоторые краевые условия, которые пока уточняться не будут.

Поставим вопрос о том, при каких условиях и за счет каких источников происходит генерирование акустической энергии областью а. Однако прежде чем отвечать на этот ‘вопрос, надо установить, что именно следует понимать иод потоком акустической энергии.

Как известно, поток энергии в одномерном газовом течении равен *)

А = (И.1)

Первое слагаемое, имеющее множителем qv, описывает перепое энергии потоком массы. Выражение в скобках показывает, что поток массы переносит энергию двух впдов — кинетическую и внутреннюю. Первая из них пвляется, как известно, одним из впдов механической энергии, а вторая — тепловой. Последнее слагаемое фор­мулы (И.1) онпсывает передачу эперпш давлением; это тоже энергия, илїеющая мехапическую форліу.

Возбуждение акустических колебаний связано с пере­дачей импульсов давлением н поэтолгу из трех слагаемых 9 последнее слагаемое ри представляет основной интерес.

Пусть в газовом течении установились гармонические колебаппя

Р = р0 + бр, 6р — bpsmat, v = у0 — f б:’, ди = | bv sin (сої + "ф)і

Где — фазовый сдвпг между колебаниялш давления и скорости.

Тогда слагаелюе ри в формуле для потока энергии (11.1) люжет быть представлено в виде

PV = Povo + Pobv + V^P + bvbP-

Интегрируя это равенство по времени за период ко­лебаний 7" я относя полученные величины к нериоду,

(И.2)

‘) Здесь и пи же тепловые вмята гш выражены в мсхзплческвх единицах, это позволяет пе вводить в Лоомулы размерных посто­янных. г

Получим среднее значение потока ри за период т

Мср = №>-1 — уг 5 bvbpdt. (П. З)

О

Из получениои формулы спдпо, что при установив­шихся гармонических колебаниях средний за период поток pv равен сумме двух потоков энергии.^ Поток pav0 никак не связан с колебаниями, в то время как второе слагаемое правой частп формулы (11.3) зависит только от колебательных составляющих р и и. Это слагаемое естественно назвать потоком акустической энергии А

Т

" ‘ A = -±r<jbvbpd/. (11.4)

‘u — о

Рассмотрим некоторые, почти очевидные, свойства потока акустической эпергпи. Воспользовавшись выра­жениями (11.2), для бр и bv можпо написать:

Л = і|а/>[|би|сойф. (11.5)

Из формулы следует, что в узлах давления Ьр~0 или в узлах скорости 6у=0 поток акустической энергии равен пулю. Это означает, что в среднем за период через сече­ние, в котором расположен узел бр пли bv, акустическая энергия пе перетекает. С этой точки зрения понятно, почему при наличии узлов давления или скорости па концах трубы можно говорить, что краевые условия по допускают излучения акустической энергии в окружаю­щее пространство.

(ШІ)

Равенство типа (11.5) удобно записывать в виде ска­ля рпого произведения векторов бр и би. Как уже указы­валось во втором параграфе, вариации переменных, кото­рые обычно рассматриваются как комплексные вели­чины, нередко удобно рассматривать в качестве векторов. Следовательно, формулу (11.5) можно записать в виде

А = ~ Bpbv.

Пользуясь такой формой записи, легко убедпться, что для установившихся колебаний величина А сохраняется постоянной при переходе от сечепия к сечению. Дейст­вительно, обратимся к переменным и п w. Еслп считать 6р u dv векторами, то и п w также следует рассматривать ие как комплексные величины, а как векторы, связанные с Ьр и 6» соотношениями (4.5). Но тогда

4 = (Ц.7)

Так как скалярные квадраты векторов совпадают с квадратами абсолютных велнчпп, а абсолютные величины | и | и | w j в случае гармонических колебании не меняются при переходе от сечеппя к сечению (см. §7), велпчппа А не может измениться с изменением координаты сечения.

Этот результат можно истолковать как свойство сохра­нения потока акустической энергии для установившихся колебаний прп движении вдоль оси течения,

Из сказанного можпо сразу сделать ряд важных вы­водов. Если при наличии узла скорости или давления в некотором сечении поток акустической энергии через это сечение равен нулю, го условие А =0 должно оста­ваться справедливым и для других сечений. Но скалярное произведение может быть равным нулю лпшь прп условии ортогональности сомножителей (еслп ни один из них пе равен нулю). Следовательно, прп паличии узла 8р или би в некотором сечении и при установившихся колебаниях фазовый сдвиг между др и во всех других сечепиях равен ~ . Этот результат уже был получен ранее, в виде формул (6.3) и (6.6), из которых видно, что неременные рк и ик отличаются мнимым множителем. Однако в настоя­щем параграфе вывод об ортогопальности бр и 6к приоб­ретает физическую наглядность и может быть обобщен в том смысле, что это условие будет справедливо не только прп наличии узлов бр нлц б и, по и во всех тех случаях, когда вдоль трубы не происходит (в среднем за период) передачи акустической энергии.

В тех случаях, когда прп установпвшихся колеба­ниях поток акустической энергии А отлнчон от нуля
(например, когда на концах трубы происходит рассеивание акустической энергии), свойство сохранения А = const вдоль оси трубы остается справедливым. Из пего, в част­ности, следует, что если абсолютные величины Ьр и б г; меняются в зависимости от координаты | (стоячие вол­ны), то это возможно лишь при соответствующем изме­нении фазового сдвига — ф между ними [формула (11.5)]. Кроме того, ясно, что в таком процессе нигде пе может образоваться узлов Ьр пли б у, так как это дало быЛ=0.

Как впдпо из формулы (11.5), величина А может быть как положительной, так и отрицательной, знак ее зави­сит от угла ф. Знак А говорит о направлении движения потока акустической энергии. Если акустическая энер­гия движется в положптельном направлении, вправо, то А > 0, если влево, то А < 0.

Вернемся теперь к рис. 1G. Сравнивая потоки акусти­ческой энергии на неподвижных плоскостях 1 и 2, ограничивающих область а, поставим вопрос о коли­честве акустической энергии, «излучаемой» областью и. Обозначим поток акустической энергии, пересекаю­щий плоскость 1, через А’, а поток, пересекающий плоскость 2, через А". Тогда суммарное количество акустической энергии А?, излучаемой областью а, будет равно

/12 = A"-A’. tl 1( (11.8)

Если вспомнить правпло знаков, то Ле>0 означает, что энергия движется от области о, если As<c0, то к об­ласти а. В нервом случае область а генерирует акустиче­скую энергию, во втором поглощает ее, прп — Aj:=0 область о является нейтральной.

Пусть на копцах трубы А и В потери акустической энергии равпы —R_ и соответственно. Знаки прп RA и Rr выбраны так, чтобы потери акустической энергии были связаны с ее движением из трубы АВ во внешнюю среду. Суммарпые потери будут, очевидно, равны R~1iD— — Ra — Тогда из энергетических соображений ясно, что при установившихся колебаниях

= П.

(11.9)

Еслп

(11.10)

Или

A2>R

То колебания не могут носить установившегося хара­ктера.

В первом случае можно говорить о возбуждении си­стемы, а во втором — о гашении колебапин. Действи­тельно, в первом случае зона а излучает больше акусти­ческой энергии, чем ее могут рассеять потери на концах А и В. Следовательно, часть колебательной энергии на­капливаемся в трубе, что должно вести к увеличению амплитуд колебаний, т. е. к возбуждению колебательной системы. Во втором случае процесс имеет противополож­ный характер. С этой точки зрения равенство (11.9) соответствует границе устойчивости.

Здесь следует оговориться, что поскольку выше был рассмотрен случай установившихся колебаний, и опре­деление потока акустической энергии было раскрыто лишь для этого случая, точный смысл имеет только формула (11.9). Что касается неравенств (11.10), то их следует рас­сматривать как полезные качественные критерии.

По величине Аг можпо сзгдить о поведении колебатель­ной системы в целом. По слагающим А* величинам А’ и А" представляется возможность судпть о процессах, происходящих слева и справа от а, например на концах трубы. При установившихся колебаниях величины А’ ж А" постоянны длд сечеппй, лежащих слева и соответственно справа от а. Отличие А’ и А" от нуля говорит о том, что от области о к концам трубы плн от концов трубы к обла­сти а постоянно течет акустическая энергия. Еслп аку­стическая энергия течет от области а к концам трубы (т. е. если А’ < 0; А" > 0), то это означает, что па концах трубы расположены поглотители этой энергии. Если акустическая энергия движется от концов трубы к области о (т. е. если А ‘>0; А" < 0), то это означает, что па концах трубы происходят процессы непрерывной генерации аку­стической энергии, которая поглощается областью о.

Охарактеризуем теперь несколько более подробно процессы, идущие внутри области теплонодвода а. Обстоятельное изучение этого вопроса будет проводиться
ниже, здесь достаточно будет отметить некоторые общие свойства этой зоны. Как уже говорилось, внутри области а происходит теплоподвод. Область ограничена неподвиж­ными плоскостями 1 и 2. В связи с процессами, идущими внутри о, между плоскостями 1 н 2 происходит, вообще говоря, изменение всех параметров теченпя. Если ограни­читься ])ассмотрепнем одних только возмущений параме­тров теченпя, то можпо говорить, что bp, bv и 6s изменя­ются вдоль области а не только в связи с наличием акусти­ческих колебаний, ной вследствие процесса теплоподвода, идущего внутри а. Если считать расстояние между пло­скостями, ограпнчивающпмн а, малым по сравнению с длинами волн возмущений, так что волпы возмущений, связанные с акустическими колебаниями, не могут за­метным образом изменить своих амплитуд и фаз на рас­стоянии а, то все изменение bp, bv и bs между плоскостями 1 и 2 будет связано только с процессом теплоподвода.

Отметим индексами 1 все величины, соответствующие левой граппце зоны а, а индексами 2 — величины, соответ­ствующие правой границе зоны а. Тогда можпо ввести следующие обозначения, при написании которых среднее значение давления в левой (холодной) части трубы принято равным ри а средняя скорость звука—а1

(11.1J)

Примем, что область а мала по сравнению с длиной воли возмущений. Тогда безразмерные величины ЬЕ, ЬХ п bS связапы только с процессом теплоподвода и их можпо рассматривать как три параметра, описывающие некото­рые суммарные свойства возмущенного процесса тепло­подвода.

Вопрос о том, достаточны ли эти параметры для одно­значного описания необходимых свойств зоны а, и во­прос об пх фактическом определении будет рассмотрен в следующей главе. Здесь достаточно указать на то, что введенные величины разумно описывают физические явле­ния, происходящие в зоне теплоподвода. Величина ЬЕ характеризует расширение некоторого объема в связи
g И] поток акустической: энергии

С его нагреванием, величина ЬХ — возникновение тепло­вого сопротивления, а величина 6S — неизбежное при подогреве изменение элтрошш.

Обратимся теперь к вопросу об источниках энергии при термическом возбуждснпп звука. Будем по-прежнему считать, что протяженность зоны а мала и поэтому к про­цессам, идущим впутрп нее, можно применять гипотезу стационарности, т. с. считать, что внутри а все явления описываются уравнениями, справедливыми для стацио­нарных течений. Это можно пояснить так. Малость а по сравнению с длинами волн возмущений означает медлен­ность акустических колебаний по сравнению со скоростью протекания процессов в короткой области а. Поэтому время, достаточное для того, чтобы внутри области а произошли изменения и процесс установился, недоста­точно для сколько-нибудь заметного изменения пара­метров течения вне ее, изменения, связанного с акусти­ческими колебаниями. Процессы внутри а как бы мгно­венно «подстраиваются» к сравнительно медленным акустическим колебаниям.

Рассмотрим пересечение области а элементом тече­ния. Еслп написать закон сохранения энергии отдельпо для элемента потока в системе отсчета, движущейся вместе с ним, и отдельно для центра тяжести этого элемента, то, используя уравнение неразрывности, нетрудно получить следующие равенства:

Q = Qvcv{T*-T1)+^ pdv, (11.12)

А

P = s^Ci-‘f)+]vdP — (JJ-J3>

Здесь Q — тепло, Р — механическая энергия, подведен­ные к газу в обдастп о. Хотя в рассматриваемом слу­чаи /’ — (), сохраним эту величину в формулах для боль­шей общности получаемых результатов.

Очевидно, что разность полных потоков эпергпп (11.1) между плоскостями 1 л 2 равна

РіЩ-PjV!= ^ pdv + ^ Vdp. (11.14J

А а

Таким образом, составляющая потока энергии, «излу­чаемая» областью о и равная p2v2 — PiViy состоит из двух слагаемых. Первое из них связано с теилоподводом и изменением внутренней энергии (11.12), а второе — с подводимой механической энергией и изменением потока кинетической энергии (11.13).

Пусть величины р п v имеют гармонически изменяю­щиеся во времени составляющие др и ди (11.2), причем период колебаний равен Т. Тогда средняя акустическая энергия, излучаемая областью а, запишется в виде

— і. т

-J-" = (J1.15)

О

На основании равенства (11.14) можно написать т

= Т [ 5 bPdbvJ’~ dt — (11-16)

0 а а

Величины, стоящие в скобках в равенствах (11.15) и (11.16), уже не являются гармоническими функциями времени.

Обозначив символом А периодические, но пе гармони­ческие составляющие, имеющие порядок б2, напишем с использованием (11.12) п (11.13):

TOC o "1-3" h z т т

[ ^ dpdbv’j dt= $ A [e-Qt’c^-rO]^, (11.17)

0 a 0

Т Г ‘

[ [ U bvdbp] dt= A dt. (11.18)

0 сг 6

Выше уже говорилось, что при термическом возбуж­дении звука механическая энергия к потоку не подво­дится и иоэтому Р = 0.

Воспользовавшись равенствами (11.16) — (] 1.18) и по­ложив Р — 0, получим следующее выражение для потока акустической энергии, излучаемой областью о:

7

= [ ^ — -■(f-4 ) ] dL

° (11.19)

Выражение для показывает, что акустические ко­лебания могут поддерживаться за счет трех источников энергии — внешнего теплонодвода, потока внутренней энер­гии и потока кинетической энергии. Однако формула (11.12) говорит о том, что первые два источника род­ственны друг другу. Поэтому ниже будут рассматриваться только два источника энергии. Будем говорить, что энергия акустических колебаний может заимствоваться из тепловых членов (теплоподвод и внутренняя энергия) и нз потока кинетической энергии.