В предыдущем параграфе был проанализирован одни из возможных случаев возбуждения акустических колеба­ний горением. Рассмотрение было проведено без учета запаздывания тепловыделения. Можпо было бы вернуться к этому случаю и выявить то новое, что дает учет запазды­вания. Однако более целесообразным представляется рас­смотрение другого примера, такого, где роль, которую может играть задержка воспламенения, проявилась бы наи­более ярко. В качестве подобного примера рассмотрим спстему, которая при отсутствии запаздывания, в отличие от описанной выше, вообще пе возбуждается.

‘) В камерах сгорания следует различать коэффициент избытка воздуха, подсчитанный для камеры в делом, и местиое значение а в зоне горения. Суммарное а бывает нередко выше единицы за счет воздуха, направляемого в обход зоїш горения и подмешиваемого к продуктам егорапия ниже зопы интенсивного горения.

Пусть ПлоскостЬ подвода тепла X лежит во входном се­чении, т. е. /,—-0. Тогда продукты сгорания займут всю длину трубы, чему будет соответствовать 1г~ (рис. 42). Краевые условия сформулируем так: на входе и выходе трубы расположены узлы скорости. Такие краевые усло­вия могут рассматриваться, панрнмер, в качестве первого приближения к реальным краевым условиям, наблюдаемым в камерах сгорания жидкостных реактивных двигателеІІ. Л нижней части рис. 42 дана схема типичной камеры такого двигателя. Слева, на так называемой головке камеры А, располагаются форсунки, подающие компоненты топлива — го­рючее и окислитель, а в правой ча­сти камеры сгорания помещается сопло Лаваля. Очевидно, что глухая стеика А не позволяет колебаться скорости течения у левого конца ци­линдрической части камеры (расход компонентов топлива считаем посто­янным). Справа, в критическом сече­нии сопла Лаваля С всегда сохраняется скорость течения, равная скорости звука. Если отвлечься от возможного колебания самой скорости звука, то можно считать, что в сечении С поддерживается постоянная скорость тече­ния. Когда расстояние от В до С мало, ото прпводпт к тому, что в сечении В скорость течепия также становится постоянной. Отсюда возникает формулировка второго крае­вого условия—отсутствие колебании скорости в правом кон цевом сеченнп (В) цилиндрической части камеры сгорания. Заметим, что близость написанных краевых условий к крае вым условиям для камеры сгорапня жидкостного реактив­ного двигателя ие означает, что далее будет дан анализ устойчивости рабочего процесса в таком двигателе. Этому будет иосвящеи ниже специальный раздел книги. Здесь, вероятно, нелишне указать, что неустойчивость сгорания в жпдкостпом реактивном двигателе связана в первую оче­редь с возмущением расхода массы, а пе теплоподвода.

Будем описывать процесс возмущенного теплоподвода в плоскости 2, совпадающей с сечением А на рис. 42, урав­нениями (17.5) с учетом условия я, = 0 и формул (24.1),

Е [

ВС

Рис. 42. Идеализиро­ванная схема жидко­стного реактивного

ЛШ1ГІІТЄЛЯ.

Vi*

(24.2), т. е. предположим, что в области теплоподвода имеет место только возмущение притока тепла и нет коле­баний фронта пламени и т. п. Учтем также, что по краевому условию і’г=0. Тогда условия на плоскости 2 запишутся в виде

Р.> = а„рх A23Qppv J

Где «12, a is, an u «.23 — некоторые постоянные. Надо сразу оговориться, что эта запись справедлива лншь в том случае, когда изменение процесса горения мгновенно следует за изменением давления pv Если же процесс горения будет отставать от воздействующего на него давления рх на время Дт, то вместо равенств (26.1) надо написать другие. Первые слагаемые в правых частях этих равенств пе претерпят изменения, зато вторые, связанные с процессом возмущения теплоподвода, надо будет брать такими, какими онп были в момент, отстоя­щий от рассматриваемого па время Дт. Это можно зависать следующим образом:

V3{x) = a12p1 (т) J Дт), ) /1(. ,

_ > (26.2) Р» ("О = ашРх (*) т (hzQvPi (т — Лт). )

(Стоящие в скобках величины т и т —Дт указывают, для какого момента времени берутся переменные.)

Как известно из предыдущего, в принятой постановке задачи изменение всех возмущенных величин происходит пропорционально Поэтому формулы (26.2) можно

Переписать в следующем виде {v2i) = v2 при т = 0 н т. д.):

Ур = «.л/’ + ]

Отметим, что при Put индексы «единица» или «два» не поставлены вовсе. Дело в том, что хотя масштабы времени в холодном п горячем участках течения п раз­личны (так как онп зависят от скорости звука) н поэтому следует отлпчать ^ от (}2. а от т2, произведение |5т не зависит от избранного масштаба времени, так как единица времени входит в одном из этих сомножителей п знаменатель, а в другом —в числитель. Сокращая оба равенства (26.3) на <>№, придадим условиям на S с учетом запаздывания окончательный впд:

— — — (2h.4)

Р,(1 = а22р10 4 I

Прп записи приведенных равенств уже использовано первое краевое условие (i^sO), Второе краевое условие — ~ог = 0 при £=•/., = 1 даст, на основании первой форму­лы (4.13).

TVPi(i) + /’йпЧ-2 (I) = <>.

Подставляя в последнее равенство с20 и /;.,„ из (2В.4), получим после некоторых упрощений

(«„ + ( 1 — г®щ) = <2«-й)

(В дальнейшем индекс «2» прп Р будем для простоты опускать.)

Следует подчеркнуть, что условия па 2 в случае учета запаздывания (26.4) в отличие от условий па 2 для случаев, когда задержка во времени не учитывается, становятся зависимыми от комплексной частоты {}. Ото обстоятельство затрудняет решение характеристического уравнения. В частности, метод, изложенный в § 23, оказы­вается неприменимым, так как в равенстве (23.5) коэф­фициенты Cj, С2, Сз и Сj становятся функциями ком­плексной частоты р. В этом случае соотношения (23.7) неверны, поскольку они были получены в предположении вещеетвенностп С1} Сг, С5 и С±. Перепишем (26.5) в впде
где Л({5) иБ((3)—вещественные величины. На границе устой­чивости Р = ш и тогда написанное равенство разбивается на два, связывающие только вещественные переменные Qtl со.>соДт = Л (со), | Qtl s’i її соДт = -)і{ь>). j Отсюда сразу находим

Irctg j Л (со)

/,’Л.

(2ІІ.7)

Cos соДт ‘ I

Где к — целые числа. Задаваясь различными значениями со, находим по первой формули соДт, а по второй Q Та­ким образом, оказывается возможным найти пары значе — Јt>Jr

Qn =

ІОО &

Рно. 43. Диаграмма устоіічішогтп при u, n — л л 111 я а пня’ды папип Дт.

Вий Qp и Дт, удовлетворяющие условиям существовании границы устойчивости.

(2В. И)

Цт) ‘ ■ I (и) J

ОДт —

На рис. 43 даны результаты такого расчета для — = 0,1, М2 — 0,25. Как видно из графика (к — 0; к = 1), неустойчивость возможна лишь для двух типов чередую­щихся замкнутых областей в плоскости (Qp, со Дт). Эти области сдвинуты друг относительно друга (по оси со Дт)
на угол, равный я, и соответствуют значениям Qp разных ішаков. Существование таких именно типов областей для рассматриваемого случая можпо было легко предсказать па основе диаграммы, приведенной в левой части рис. 28. Действительно, полагая QpewilX=Q, сведем рассматривае­мый случай к исследованному выше. Соответствующая диа­грамма у сто йчи в ости типа представленной на рис. 28 дана пл рис. 44, где аргумент вектора Q в области неустойчиво­сти изменяется от —0 до + О (направления ОВ и ОЛ). С уче­том последнего равенства легко получить, что значенням Q > О области неустойчивости отвеча­ют следующие границі, і для Лт:

— О < ш Лт < 0. а значениям < 0 —

Л — 0 < соДт < 6, что находится в полном соответ­ствии с результатом, показан­ным па рис. 43.

Хотя результат, представ­ленный па рпс. 43, и можно было предвидеть, оп был получен здесь путем численного апализа уравнения (20.5) главпым образом для того, чтобы проиллюстрировать на простом примере метод решения задачи о возбуждении акустических колебании теилопод­водом с учетом запаздывания процесса возмущенного теплоподвода. В более общих случаях такой простой ана­лиз условии возбуждения прп помощи диаграммы типа представленной на рпс. 44 затруднителен. Кроме того, не следует забывать, что полученный в настоящем параграфе результат содержит пе только сведения о положении гра­ниц устойчивости, но и о частотах, соответствующих от­дельным точкам отих границ.

Рис. 44. Влияние запазды­вания At на положение вектора Q на диаграмме устойчивости.

Рассмотрим приведенную па рис. 43 диаграмму более подробно, наложив па задачу дополнительные ограниче­ния. Предположим, что по физической сущности процесса теплоподвода Qp может иметь лишь отрицательные зна­чения. не Превосходящие по абсолютной величине 100.

Тогда возбуждение системы окажется возможным лишь в тех случаях, когда изображающая точка на диаграмме рпс. 43 будет лежать в заштрихованной части прямоугольника АА’ВВ’. Это обстоятельство накладывает специфические ограничения на допустимые зпачення Дт. Чтобы показать это. построим на рпс. 45 связь между Дт и со, снимая с дна — граммырпс. 43 значения соДт п со, соответствующие участку

Ат

0/2 J І І В *oj

1’ш 45. C. iw. sl между navTOTrtNUi колеоашш w її ве­личиной запаздывания Дт.

А Н границы устойчивости. Как видно пз рис. 45. возбужде­ние оказывается возможным лишь при определенных часто­тах со п требует ири этом вполне определенных значении Дт. Важно при этом отметить, что если по рассматривать очень больших со (они почти всегда нереальны), то система не может возбудиться при Дт, близких к нулю. Это является весьма существенным отличием рассматриваемой задачи от задачи предыдущего параграфа, когда система была спо­собна к возбуждению и при Дт = 0. Таким образом, учет запаздывания может оказаться необходимым, н это обстоя­тельство следует принимать во внимание.

Чтобы закончить рассдіотренде вопроса о влиянии дС — на возбуждение колебаний, сделаем одно замочапие. На рис. 45 приведены только минимальные значения Дт, необходимые для возбуждения колебательной системы. £сли увеличить Дт таким образом, чтобы повое значение т—Ат’ было связано с приведенным па рис. 45 Дт=~Дт(| соотношением соДт’= соДт0-г2Л’Я, где к — целое число, то па диаграмме рпс. 44 изображающие точкп для этих двух случаев, очевидно, совпадут.

Следовательно, при непрерывном изменении Дт от О до со могут периодически чередоваться области значе­ний Дт, для которых система устойчива, с областями значе­нии Дт. для которых система неустойчива.

§ 27. Частоты колебаний

При анализе частот колебании, возбужденных теило­подводом, следует учитывать, что в этом случае законо­мерности возбуждения частот не столь просты, как в обыч­ных акустических системах. Выше это обстоятельство уже подчеркивалось в связи с примером решения характери­стического уравнения {§ 23). Там, в частности, говорилось, что отклонение частот колебаний от величин, предсказы­ваемых простейшими акустическими формулами, связано с тем, что нрн перосеченпп акустической волной поверх­ности разрыва 2! лишь часть ее проходит в область с иной температурой, а другая часть отражается от поверхности разрыва.

Дело пе только в том, что по разные стороны £ течет газ с различными температурами. Процессы, идущие в ло­не горения (т. е. формально — свойства поверхности 2), самым существенным образом влияют на величины возбуж­даемых частот.

Рассмотрим это явление более подробно. Пусть система находится па границе устойчивости и совершает колеба­ния с постоянной амплитудой (v = 0). Для определен­ности предположим, что система пмеет узлы давления слева и справа от плоскости подвода тепла 2, в сече­ниях с координатами и Пусть plt щ и р2, ^-воз­мущения давления п скорости на плоскости 2 (£ = 0) слепа
и справа соответствснпо. Тогда исходная система будет иметь следующий вид:

TVPi(Јi) т/’іФіІІіІ^і),

Г’гФ* (Sa) (І2)=0.

Условия на S запишем в канонической форме (17.1):

P-i~ (l> йХ) = Uh — і" УтРх)%

Где чпсла ух н у2 введены (как и выше в аналогичных случаях) для того, чтобы явпым образом связать вели­чины бЕ и ЬХ с фазами п амплитудами колебаний системы. Эти чпсла являются формальным введенном некоторой обратной связи, конкретизация которой здесь не требуется.

Используя (27.2), преобразуем характеристическое уравнение системы (27.1) к следующему виду:

А и — Фі Fo) Фі (Ь) ,, _ Фі (Si) _ Фі (S2) r>7 — JV " Уї Фа (Ыф®<Св) п Фг(£і) ‘ W " }

Отношения функций! Ц|> входящие в написанное урав — Ф2

Пение, можно определить па основе формулы (22.-3). Положив р = ш (по условию v = 0) и обозпачпв

(27.5)

(27.4)

I —Лі2

Нетрудно получить, что Фі(6) _

Проанализируем, основываясь на уравненин (27.3), оба простейших случая возбуждения колебаний — один, характеризуемый условием ЬХ = 0 (уг = 0), другой — усло­вием ЬЕ = 0 (^1 = 0). В обоих случаях, как это следует из формулы (27.5), в правой части равенства (27.3) будет стоять мппмая велнчппа, а коэффициенты при ух или у.,

В левой части будут вещественными. —-

Таким образом, нейтральные колебания реализуются прп мнимых значениях и у2, что указывает на нзвест-
пью уже из § 12 и 22 условия возбуждения колебаний, согласно которым сдвиг по фазе между ЬЕ и pY (пли между ЬХ и t’j). равный, соответствует границе устой­чивости. Этот результат не зависит, конечно, от величі и ты частоты колебапнй.

Рассмотрим, какие час юты могут возбуждаться в изу­чаемой системе. Изменение величины (о ведет к нзмепе-

Шх Зі		М
Гі
Ї		F L _
А		, я/", fM-
Ч/	Г з 1s в 7	, Я Ш ш
-гі	—
-Зі	—
-it	—	‘ле Idr

Гис. К» і >н|’і’.имение собственны* частот колебателг.- пой системы.

Нищ а (27.4). а следовательно, л функции и

Фз^бп Фз U2)

(27.о). Таким образом, каждому значению со соответствует с вис значение?/, (или у2), нрн котором возможны ней­тральные Колебания системы с заданной частотой о; оно племеитарпо определяется из уравнения (27.3).

Чтобы проиллюстрировать сказанное, па рис. 40 при­ведены результаты подобного вычисления. Для большой наглядности используются не значення у{ и у2, а ЬЕ=у1р] и 6X=y2v1 (при этом p-i н считались вещественными и по­ложительными). Расчет произведен для случая трубы с уз­лами давлення в концевых сечеппях и с плоскостью 2, расположенной на равных расстояниях от обоих копцов. Скорость течения в «холодпой» части характеризуется числом М = 0,15, а относительный подогрев Т02/Т01 — (3,25 (здесь !Г0 означает температуру полностью заторможенного газа). В расчетах величина v в «холодном» концевом сече­нии была условно принята равной единице.

Важнейший вывод, который следует пз уравнения (27.3), сводится к тому, что при должном изменении ЬЕ или 6А~ можпо получить любую наперед заданную частоту (этот факт был З’же использован в § 24 для построения гра­ниц устойчивости, где определялось изменение Q и Qr при непрерывном изменении со). В отличие от обычиых за­дач акустики частота колебании определяется здесь не только свойствами колеблющегося газа и размерами трубы, но и характером процесса теплонодвода на Z. Поэтому такие понятая как «основной тон колебаний» пли «обер­тоны» следует употреблять с осторожностью. Эти привыч­ные понятия имеют смысл для наперед заданных фикси­рованных значений ЬЕ и ЬХ. Действительно, например, прп ЬЕ — ЬХ -0 пз всех частот, приведенных на рпс. 46. могут реализоваться только частоты, соответствующие точ­кам А її /І. Частота со =4,82 (точка А) может рассматри­ваться как первая гармоника, частота со —7,95 (точка И) как вторая и т. д. (другие гармоники па рис. 46 не приве­дены). При другом характере процесса па например ЬЕ = ЬЕ0, те же гармоники будут соответствовать точкам А’ и 1Ґ. При непрерывном изменении ЬЕ возможен непре­рывный переход от первой гармоники ко второй.

Здесь рассматривались элементарные случаи возбуж — депия колебаний, ирп которых ЬЕ пли 6Х равно нулю. Однако полученные выводы пе изменяются и в общем слу­чае, когда между ЬЕ н ЬХ существуют произвольные соот­ношения. В этом легко убедиться на основании анализа уравнения (27.3).

§ 28. Ступенчатое изменение частот колебаппй с изменением положения зоны горения

Экспериментаторам хорошо известно о существовании связи между положением зоны горения (длиной «горячен» части трубы) и частотами колебаний. Известно, например, что при распространении пламени в трубе, заполненной горючей смесью, возбуждаемые пламенем частоты скачко — 2В СТУПЕНЧАТОЕ ИЗМЕНЕНИЕ ЧАСТОТ КОЛЕБАНИИ 22 t

Образно меняются по мере перемещения фронта пламени вдоль трубы. Это свойство легко поддается анализу на основе характеристического уравнения рассматриваемой задачи. Замечательным является при этом то обстоятель­ство, что подобное скачкообразное изменение частот никак не связано с конкретным видом процесса горения; оно мо­жет не наблюдаться лишь тогда, когда механизм возбуж­дения является фупкцией положення зоны гореиин вдоль оси трубы или функцией частоты колебании. Рассмотрим ;iTo явление более Подробно.

В качестве краевых условий выберем узлы давления ИЛИ скорости В сечениях Е = І! слева от поверхности подво­ди тепла и 1 = |2 справа от нее. Таким образом,

/?=|> или у = 0 ирit £ = Іі н | = Е3. (2H. J)

При использовании краевых условий вида (28.1) можно в решении не учитывать волн энтропии, и, если допол­нительно условиться, ЧТО. S’j = 0 и формулы связи между

Рх и v.2, р., на 2 пе содержат ни комплексной частоты колебаний р, ни расположения плоскости 2 по оси трубы, то величины Е и р будут входить в характеристическое уравнение только через функции срх н ф2.

ГГрн этих предположениях два краевых условия (28.1) дадут два уравнения, связывающие, например, рг и vt в плоскости 2 [подобие тому как это получилось в § 23 при составлении характеристического уравнения (23.4)]. причем множители при р} и иг будут линейными функ­циями cpj ц ср2. Это даст в конечном итоге характеристи­ческое уравнение вида

І «і. Фі (£і) + «12ф2 (У ад, (У + «з (У j =

Где вещественные коэффициенты alk будут функциями свойств поверхности 2. Вещественность коэффициентов предполагает запись условий на 2 ло типу форл/ул § 23.

Если учесть, что функции (р! и ср., линейно зависят от двух выражений, содержащих | и р (4.14)

Exp f-r^LV expJPL_ 1 V J ‘ lxP і — м ‘

То, выноси за знак определителя в первой строчке велн-

PlSl — f — 02&S Л

Чину е. хр -.J ^^ , а во второй — величину ехр ■ ^ J и сократив на нпх, получим характеристическое уравне­ние, зависящее от выражений

Как известно, величины [5, и рг связаны соотношением (22.5), а если начало отсчета £ совместить с S (рис. 22), то и удовлетворяют равенству

С учетом сказанного характеристическому уравне­нию (28.2) может быть придан следующий вид:

Здесь У»— целая рациональная функция второй степени с вещественными коэффициентами.

Проанализируем решение этого уравнения. Оно дает изменепне [3j в функции относительной длины «горячего» участка которую будем ниже обозначать 1.2, при задан­ных неизменных краевых условиях вида (28.1) п усло­виях на 2 указанного выше типа. Пусть по мере увели­чения h величина декремента затухания колебаний v будет увеличиваться, переходя через нуль. Это будет соответствовать переходу от устойчивости (у < 0) к не­устойчивости (v > 0). На границе устойчивости v = 0 и Р = гю[6]). Выберем пару значений /2 и ш, соответству­ющих границе устойчивости, и обозначилі их и юс1). Имея эти две величины, легко определить все множество значений пар чисел /2, ш. соответствующих всем гармо­никам системы в момент перехода через границу устой­чивости при увеличении /2. ,

Действительно, прп Р = гш равенство (28.3) становится равенством, связывающим тригонометрические величины

П Г 2м (І-/,) , • . 2w(J — М I

По условию оно удовлетворяется при /2= /j1′ П 0) = оУ’ Но тогда оно будет удовлетворяться так же нри всех значениях со и L, для которых справедливы равенства:

2<о(1-/а) 2м">(1_/.П) j

L-.V? 1 — М 1

О, О м„<„ • (28.5)

2(0/2 — 2Лгя 4- — 2 і 1 ‘

П{і-М) " — л(1—Л/1)’ |

Здесь К и Лг —любые це.1гые числа, ограниченные естественными условиями Q) > 0 и 0</3<1.

Следует лишь добавить, что знаки у вторых слагаемых надо брать одинаковыми —либо в обоих случаях плюс, либо в обоих случаях минус. В первом случае в левой части равенства (28.4) сохранится то же комплексное число, что и соответствующее 121′ и ша>, во втором появится сопряжепное комплексное число. Поскольку в правой части равенства (28.4) стоит пуль, это требует равенства нулю вещественной и мнимой частей числа, стоящего слева. Однако абсолютные величины как вещественной, так и мнимой части сопряженных комплексных чисел совпадают. (Это обстоятельство и позволяет писать в равенствах (28.5) два знака.)

Решив систему (28.5), находим:

О) = я[(1-А/;)ЛГ + л(1-Л/|)Л*] + ш(1 1

T _ЛП(1 — Щ) у J" (28.6)

2_ © " ‘ I

Может оказаться, что величины a>(17!;1, и юш велики, и для отыскания всех возможных комбинаций 0</2<1 и о) > 0, соответствующих границам устойчивости, окажется необ­ходимым орать отрицательные значения целых чисел /V и Л. Чтобы избежать этого, и иметь в дальнейшем лишь положительные или равные нулю Л’ и К, можпо применить такой прием. Запишем /V и К в виде К — = K’=fK" и N = N’TN где числа К К"> N Л7" — целые неотрицательные. Тогда формулы (28.6) примут следующий вид:

Iii =■ л [(I — М’) К’}i (I — л/’^д-‘) 4-

I Л* (I—

— "" со

Здес ь

< = *>п’ — л [(І — М]) К" + «(1- Щ) — VI.

О= го"1/;1′ — л/? (і — .u®) N".

Числа К" и Л"’ надо выбрать так. чтобы

О < < я (I — Щ): 0 < < я// (1 — МЦ

Тогда К’ и Л" пе смогут быть отрицательными, так как в противном случае а) п 1г стали бы припимать отрицатель­ные значения, что противоречит условиям, принятым вьппе.

В дальнейшем будем (кроме мест, оговоренных особо) предполагать, что в формулах (28.0) уже произведены со­ответствующие пересчеты, т. е. и Іь) имеют ми­нимально возможпые значення. Иногда определенные та­ким формальным методом величины ffl(1} и не имеют фи­зического смысла (со^ получается очень близким к нулю, а /У; > 1). Этпм не следует смущаться, так как подобный результат говорит лишь о том, что реально эти режимы (соответствующие А’ —0) наблюдаться но будут.

Рассмотрим сначала те решения, которые получаются при использовании знаков илюс в формулах (28.6). Тогда, задаваясь различпымп значениями К и N, можпо полу­чить все грапицы устойчивости того же типа, что н исход­ная граница устойчивости, соответствующая и Это следует понимать в том смысле, что если, панрнмер, с увеличением U процесс пз устойчивого стал неустойчи­вым, то и все другие границы устойчивости ш; U, полу — ченпые на основе равенств (28.6), будут соответствовать переходу от устойчивости к неустойчивости по мере увели­чения I.,.

Использование зиаков минус в (28.G) приведет к полу­чению границ устойчивости противоположного по сравне­нию с исходной границей типа. Тогда, например, если С увеличенном z2 при переходе через І2] процесс из устой­чивого становится неустойчивым, то все границы, получен­ные из равенств (28.0) ітрії отрицательных знаках у ш(|) 1>и и будут соответствовать переходу от неустойчивости к устойчивости по мере увеличения /2.

Указанное здесь свойство границ устойчивости легко доказать. Для этого достаточно сделать предположение, что при непрерывном измеиепии /2 комплексная частота р для всех гармопик также изменяется непрерывно (при этом отбрасывается неинтересный случай, когда прп всех /3 v=0). Предположение это вполне естественно, посколь­ку — свойства поверхности 2 были припяты иеизменными. Ко тогда очевидно, что при непрерывном изменении 12 следящий за одной и той же гармоникой наблюдатель будет отмечать, вообще говоря, многократные переходы через граппцы устойчивости, в моменты, когда будут удовлетво­ряться равенства (28.5). Важпо при этом отметить, что точки (1г, со), соответствующие границам устойчивости, полученные при использовании знаков «плюс» и «минус» в формулах (28.6), будут чередоваться. Это видно, напри­мер, из второго равенства (28.5), если заметить, что второе слагаемое правой части по абсолютному значению меньше 2л по определению. Действительно, второе урав­нение (28.5) дает в плоскости (/2; со) пепересекающиеся ги­перболы, которые, чередуясь, принадлежат двум семей­ствам гипербол, получающихся при использовании знаков «плюс» и «минус» в указанном уравнении. Пе­ресекая кривую ш = со (Z2), принадлежащую некоторой гармопике системы, эти гиперболы определят точки, соответствующие v=0, которые, чередуясь, будут принад­лежать то одному, то другому семейству гипербол.

Выше было сделано предположение о непрерывном из­менении Р в функции U. Тогда, прп монотонном изменении колебательная система, пересекая границы устойчиво­сти, будет попеременно становиться то устойчивой, то не­устойчивой (здесь не рассматривается вопрос о возможно­сти реализации таких колебательных систем, у которых две точки, соответствующие соседним границам устойчи — 15 с. В. Раушенбах вости, будут стягиваться в одну точку). Следовательно, переходя через границы, соответствующие одному семей­ству гипербол, колебательная система будет всегда стано­виться, например, из устойчивой — неустойчивой, а пе­ресекая границы, соответствующие другому семейству ги­пербол, из неустойчивой — устойчивой. Это утверждение п подлежало доказательству.

Приведенные рассуждения можно сделать более нагляд­ными, ес-ли дать графическую интерпретацию формулам

Рис. 47. К построению диаграммы зависимости воз­буждаемых частот от положения 2 по длине трубы.

(28.6). Обратимся с этой целью к рис. 47, па котором для не­которого численного примера построены линии равных К и равпых N в предположении, что Кроме того,

Здесь же папесены зависимости ш от 12 для разных гармо­ник (номера гармопик помечены прп них римскими цифра­ми), в предположении, что справедливо простейпгее_ аку­стическое правило для трубы с открытыми концами: пе — "~рпод колебаний равен времени двукратного пробега аку­стическим импульсом всей трубы (без учета взаимодействия "с зоной теплоподвода), т. с. что частота

F

1 — MV п (1 —М)

Задавшись затем некоторыми отличными от нуля зна­чениями о)(1> и md) получаем границы устойчивости при использовании обоих знаков в формулах (28.6). Точки, соответствующие границам устойчивости, условно соеди­нены прямыми, которыми отмечены области неустойчиво­сти. При этом точки А0 соответствуют границам устойчи­вости, полученным для 7V=0, Ах и для N = 1 и т. д. Точки А соответствуют использованию знаков минус, точки В — знаков плюс в формулах (28.6). Как видно из

Рис. 48. Связь между положением 2 по длине трубы и всыиуж — даемымп частотами колебаний.

Чертежа, внутри каждого криволипейного четырехуголь­ника, образованного лилиями равных К и N, лежит одна область неустойчивости.

Основываясь на сказанпом, легко построить Диагр&м- мы, дающие наглядное представление о распределении об­ластей устойчивого и неустойчивого прптекапия процесса сгорания при перемещении зоны гореппя вдоль осп тече­ния: Подобное построение дано на рис. 48 для двух типов кРаевЫх условий: ,трубы с открытыми копиами и трубы. С" одним закрытым концом. Отложенные по оси абсцисс зна­чення /2 дают положение зоиы горения, по осп ординат отложены частоты колебаний со. Собственные частоты си­стемы даны пунктирными линиями, около которых постав­лены номера гармоник. Области неустойчивости показаны

Vj*

Сплошными линиями. Для того чтобы показать различные возможные типы распродолепия областей неустойчивости, па правой диаграмме приводен случай, когда основной топ имеет только одну, а не две границы. устойчивости. Такой случай вполне вероятен для трубы с одним закрытым концом.

Общие закономерности, которые бросаются в глаза при рассмотрении диаграмм, приведенных па рис. 48, могут быть сведены к двум положениям.

Во-первых, чем выше помер гармоники, тем большее число чередующихся областей устойчивости п неустоичп — востн помещается па длине трубы (при этом первая гар­моника имеет одну область неустойчивости, вторая — две, третья — три и т. д.). Во-вторых, впдно, что одновременно могут быть неустойчивыми несколько гармоник, причем прп положении фронта пламени у открытого конца все гармоники устойчивы (хотя для высоких гармоник области неустойчивости и подходят сколь угодно близко к откры­тому концу).

При обсуждении этих диаграмм следует иомннть, что они получепы в предположении отсутствия излучения энер­гии пз открытых концов (узлы давлення в качестве краевых условий). Известпо, однако, что с увеличением частоты колебаний количество эпергпи, излучаемой пз трубы в окружающее пространство, резко возрастает (более под­робно этот вопрос будет рассмотрен в следующей главе). Учет рассеивания энергии прп взаимодействии акусти­ческих воли с концами трубы приведет к тому, что области неустойчивости по мере увеличения частоты колебаний начнут сужаться, и начиная с некоторой частоты совершен­но исчезнут. Следовательно, высокие гармоники практи­чески наблюдаться пе будут п при положении фропта пла­мени в некоторой, достаточно большой, окрестности откры­того копца трубы процесс будет всегда устопчпв.

В птоге можно предсказать следующий общий характер протекания процесса. По мере удаления зоны горения от открытого конца первоначально стабпльпый процесс дол­жен стать пеустойчивым, причем частота колебаний будет скачкообразпо понижаться до основного тона системы. Это приведет к, казалось бы, парадоксальному поведению ко­лебательной системы: увеличение относительной длины участка трубы, заполненного, горячіш ^ом^удеаіЕриво — дпть к уменьшению" частоты колебаний,, в то время как все гармоники должны были бы увеличивать свойственные им частоты. Объяснение этому легко усматривается пз диа­граммы па рис. 48: хотя частоты каждой гармоники и уве-‘ личнпаются с возрастанием 1.2, по мере этого возрастания1 становятся пеустойчивыми все более и более низкие гар-| мопики, которые, рассеивая меньше энергии во виешпее: пространство, будут возбуждаться легче, чем высокие) гармоники, и смогут подавлять последние. Лишь прп очень j больших величинах когда оба конца трубы открыты,! появляется большая вероятность вторичного возбуждения! высоких гармоник. Вся совокупность имеющихся опытных! данных подтверждает этот вывод.

Полученные в пастоящем параграфе на основе формаль­ного анализа характеристического уравпения соотноше­ния (28.6) имеют простой физический смысл. Если считать, что при известных условиях основной топ колебательной системы стал неустойчивым, т. е. к неустойчивости приве­ла. например, пзвестпая комбинация величин р, v, Q* и Uj, то легко сообразить, что, в предположении неизмен­ности процесса в зоне горения, точно такие же условия ((>, v, Q* и Ui) встретятся дважды на второй гармонике, трижды па третьей и т. д. Это связано с тем, что вторая гармоника как бы повторяет дважды стоячую волну коле­баний основного тона, третья — трижды и т. д. Те же рас­суждения справедливы и для моментов перехода от неустой­чивости к устойчивости.

§ 29. Эксперименты по влиянию положения зоны горения на процесс колебаний

Целый ряд результатов, найденных в настоящей главе, подтверждается многочисленными экспериментами. Осо­бенно поучительны в этом смысле’опыты. связанные с изу­чением влияния положения зоны горения по длпне трубы на процесс возбуждеппя акустических колебаппй. Неко­торые из полученных при этом выводов могут иметь пе только теоретическое, по и практическое значение.

Прн оораоотке опытных данных целесообразно несколь­ко упростить формулы (28.6). Поскольку все описываемые

Ниже опыты велись при сравнительно малых значениях Мг (порядка 0,05—0,1), то разности 1—М2 могут быть при­нятыми равными единице. Кроме того, формулы (28.6) целесообразно записать в размерных перемеппых (частоты в герцах, а длины в метрах), чтобы непосредственно срав­нивать их с опытными точками. С учетом всех этнх заме­чании, соотношения, связывающие частоты колебаний и длипы холодной и горячей части течения, приобретают следующий вид:

Q

(29.1)

Здесь L и Ь2 — общая длина и длина горячей части тече­ния, «j — скорость звука в холодной части течения, Q — частота колебаний в герцах. Q^1^ и Ь^ — частота ко­лебаний па границе устойчивости и соответствующая дли­на горячей частя течения.

Получеппая формула исключительно проста и пе со­держит величин, характеризующих детали процесса горения, численная оценка которых затруднительна. Все онп заключены в экспериментально определяемых значе­ниях Q(1) п Z41). Остальные величины aly L, Ь.2 и Q) также измеряются совершенно просто.

В тех случаях, когда (как это часто бывает в экспери­менте) наблюдается лишь одиа «лесенка» частот, например только области неустойчивости А0ВХ на рис. 47, формулы (29.1) допускают дальнейшее упрощение. Поскольку все точки Аа на рис. 47 получаются при N=0, а точки Вх прп N = 1, т. е. для постоянных N (которые полностью опре­делены задаппем хотя бы одной точки А0 и 1?,), то формулы (29,1) можно записать в виде

(29.2)

Где QW и соответственно Ljj1* уже включают слагав’ Мы®, зависящие от /V. Пользование этими формулами край-
ие просто. Найдя экспериментально QO) и L^ для какой- либо точки А0, сразу получаем всю серию одноименных то­чек. Для построения серип точек надо подставить б вы­ражения (20.2) QO> и L{i соответствующие какой-либо точке /?! и т. д. Если для таких расчетов будут браться ттаппизшие наблюдавшиеся частоты то числа К будут для всех других гармоник положительными.

Известным преимуществом формул (29.2) является, помпмо всего прочего, то, что опи не содержат такой вели­чины, как п = —, измерение которой связано с некоторыми трудностями и данные по которой ие всегда приводятся экспериментаторами.

Ом

5 L,,m

Сравнение экспериментальных данных с теорией целе­сообразно начать с рассмотрения опытов Коварда, Харт — велла и Джорджсона, о которых уже говорилось в вводиой

S^, герц

— Теория Эксперимент

SO

Ом Z, 5

5 Lltm О

Рис. 49. Связь между положением фронта пламени и возбужден — вьімн частотами по опытам Коварда, Хартвелла н Джорджсона,

Главе. Опыты заключались в изучении вибрациопиого го­рения, возникавшего ири медленном распространении пламеии в трубе, закрытой с одпого конца, п заполненной горючей смссыо, при поджпганип смеси у открытого кон­ца. В этих оиыта^х величина Ь. г равна расстоянию от откры­того конца трубы до фронта пламени. Схема установки и результаты эксперимента приведены на рис. 49 и рис. 50.

Опыты ставились на двух трубах, несколько отличавшихся длиной и имевших разные диаметры (100 и 200 им?), поэто­му па каждом из рисунков приведено по две диаграммы. Разница между рис. 49 и рис. 50 заключается в методике их получения. Теоретические области неустойчивости, приведенные па рнс. 49 (сплошные линии дают теоретиче­ски найденные области неустойчивости, а точки — экспе­риментальные даппые), были получены следующим обра­зом. Из эксперимента бралось положение в плоскости

&,герц

H-

I

>5,08м—

‘ 150

100 50

L, m5,0 W 3,0 2/1 10 0L*5.3 4,0 3,0 2,0 1,0 О

* I I I I I " і і і 1 1

О! 2 3 4м L, О I 2 3 4 SM L,

Рис.. 50. Связь между положением фронта пламени и иозбужден — иыми частотами по опытам Коварда, Хартвелла н Джорджсоиа.

Зкслерилгеш

(L2; Q) одной точки А, после чего с использованием фор­мул (29.1) находились все другие точки, соответствующие границам устойчивости обоих типов. Эти точки соединя­лись прямыми, которые условно дают изменение Q в за­висимости от L5 внутри области неустойчивости. Фактиче­ское определение частот колебаний для точек, лежащих внутри области неустойчивости (т. е. таких, для которых v>0), не производилось, поэтому здесь говорится об услов­ном характере изменения Q в зависимости от /v внутри области неустойчивости. На диаграмме не изображены области неустойчивости, теоретически существующие, но не наблюдавшиеся экспериментально. Все онн соответ­ствуют более высоким частотам, чем изображенные на диа­
грамме, и поэтому практического интереса но представля­ют. Вьппе уже говорилось, что возбуждение этих колебаний маловероятно.

На рис. 50 области неустойчивости построены также путем использования формул (29.1), но на этот раз только со знаком плюс. Для того чтобы компенсировать потерю половины границ устойчивости при таком расчете, в учет принималась не одна исходная точка А, а две (А и В), принадлежащие границам устойчивости противоположных типов. В остальном построение диаграмм иа рис. 50 ничем не отличалось от построения, описанного выше.

Сравнение теоретически найденных областей неустой­чивости с наблюдавшимися экспериментально падо при­знать весьма удовлетворительным, особенно для тех областей, которые приведены на рис. 50. Единственным исключением являются точки, соответствующие Ь2, близ­ким к пулю (т. е. положениям фронта пламени в непосред­ственной близости от закрытого конца трубы). Это связано с особенностями механизма самовозбуждения н будет объяснено в § 49.

Если сравнить между собою характер совпадения экспериментальных данных с теоретическими областями неустойчивости па рис. 49 и рис. 50, можно сделать следующий вывод. Лучшее совпадение теории с экспери­ментом. на рис. 50 связано с тем, что серия границ одного типа получена путем использования точки А, а серия границ противоположного типа путем использования точки В, в то время как на рис. 49 обо серии границ найдены с помощью точки А. Фпзнчески это означает, что характеры возмущенного процесса горения в момент наступления неустойчивости и в момент ее исчезновения не вполне одинаковы. Если бы опп совпадали, то зоны неустойчивости распределялись бы, как показало па рпс. 49, сплошными линиями. Причина этого различия станет понятной в § 49.

Более важиым, чем возможная разница свойств поверх­ности 2 в процессе перехода через грапицу устойчивости прп возиикновепші и прп исчезновении неустойчивости является хорошее совпадение теоретических и экспери­ментальных областей неустойчивости. Это говорит об одинаковом механизме возбуждения, действующем вне зависимости от номера гармоники, и удовлетворяющем условиям, выдвинутым в начале предыдущего параграфа. Там, в частности, делалось пред положение, что свойства поверхностп теплонодвода 2 не зависят от частоты. Это предположение включает, конечно, допущение об отсут­ствии запаздывания, так как введение времени запазды­вания в тон илп иной форме прпвело бы, как показано выше, к зависимости свойств плоскости 2 от частоты [см., например, формулу (26.4)].

В рассматриваемом эксперименте происходило сгора­ние заранее подготовленной смеси газообразного горю­чего и воздуха, причем смесь сгорала в трубе, в которой пе располагалось никаких устройств для поддержания процесса горения (форсунки, стабилизаторы и т. п.). При таком характере горения в уравнениях, описывающих свойства поверхностп 2 (16.15), естественно положить (?*=0 и Рх = 0, т. е. считать, что возбуждеппе колебаний происходит только вследствие отличия от нуля возмуще­ния эффективной скорости распространения пламени Uv Но тогда, по аналогии с формулой (24.2), можпо будет написать

U^U^+U plt (29.3)

Т. е. предположить зависимость Vх от возмущений давле­ния п скорости. Коэффициенты ап, ан, аг1 п а23 в форму­лах (23.2) станут в этом случае линейными функциями £/„ и Up, и, следовательно, такими же свойствами будут обладать коэффициенты Сг, С2, С3 и С4 в выра­жениях (23.7).

Подставив в (23.7) для v=0 экспериментально найден­ное (например, для точки А) значение ш и значения hx и /г2, известные для той же точки А (поскольку они однозначно определяются заданием относительной длины горячей части трубы), можно рассматривать систему (23.7) как линейную неоднородную систему для определения Uv п U Фактическое вычисление Uv п Up позволит установить относительную амплитуду возмущепня эффек­тивной скорости распространения пламени и ее фазу относительно возмущений vx и рх. Вычисления подобного рода могут дать полезные сведения о процессе, идущем о зоне горения, в момент наступления (или исчезновения) неустойчивости. Здесь эти расчеты пе приводятся, посколь­ку они пе имеют непосредственного отношения к содер­жанию настоящего параграфа.

Рассмотренные эксперименты были произведены в неподвижной смеси горючих газов, при свободном распространении в ней фронта пламени. Однако и при пзмеиеппи условий опыта найденные закономерности сохра­няются. Обратимся с этой целыо к опытам, поставленным при сжигании заранее подготовленной смеси паров бен­зина с воздухом, движущейся по цилиндрической трубе. В указанных опытах была сделана попытка возбудить возможно большее число гармоник, чтобы наиболее полно сравнить теоретические зависимости с экспериментом. Это в известной мере удалось — если в он не а иной выше работе Коварда, Хартвелла и Джорджсоиа возбуждались три гармоники, то здесь было возбуждено семь гармоник.

Экспериментальная установка представляла собою открытую с двух концов трубу длиною в 4,57 м с диамет­ром в 100 мм. Эта труба свободпо обдувалась подогретым потоком бензо-воздущной смеси, которая непрерывно готовилась в специальном ресивере, отделенном от вход­ного сечопия трубы свободным промежутком. Это было сделано для того, чтобы получить четкие краевые условия па обоих концах трубы: как входное, так и выходное ее сечения сообщались с окружающим пространством. Специально произведенными замерами было показано, что акустические колебания в трубе не передавались в ресивер, т. е. разрыв между выходным соплом, которым кончался ресивер, и входом в трубу был достаточно велик. Горение в трубе происходило за группой из несколь­ких стабилизаторов пламени (выполненных в виде кону­сов), расположенных в одной и той же плоскости, нормаль­ной к осп трубы. Суммарная площадь проекции стабили­заторов на эту плоскость была мала по сравнению с пло­щадью сечения трубы, т. е. стабилизаторы не загроможда­ли с-ечепия, и акустические волпы свободпо проходили его, не испытывая заметных отражении от корпусов стаби­лизаторов.

Опыт заключался в том, что группа стабилизаторов, которая могла как целое перемещаться по трубе, посте­пенно сдвигалась по ней и через каждые 50 мм смещения производилась регистрация частоты колебаний.

V

&гери,

300-

1гмЮ № 7,0 OJ О

Рис. 51. Связь между положением стабили­затора иламеип ио длипе трубы и возбуж­денными частотами.

Результаты эксперимента приведены па рис. 51. Теоретические области неустойчивости построены по про­стейшим формулам (29.2) с использованием эксперимен­тально найденных координат концов областей неустой­чивости А и В. Взаимное расположение теоретических н экспериментальных областей неустойчивости вновь подтверждает справедливость соотношении, нолучепных в предыдущем параграфе. При этом следует особо под­черкнуть, что обе группы опытов, которые здесь рассма­тривались, были поставлены с различпымп краевыми условиями (закрытый п открытый конец трубы в одних опытах и два открытых копца в другпх), различным характером. движения газа (неподвижный относительно стенок газ в холодной части трубы и поток горючей смеси) и различной организацией горения (свободный фронт пламени и горение за плохо обтекаемыми стабили­заторами). Это указывает на большую универсальность полученных теоретических соотношений. Надо сказать, что это подтверждается также многими другими опытами, например ужо упоминавшимися экспериментальными исследованиями Путнэма и Депииса1) и других авторов.

Верпемсп к диаграмме па рис. 51 и рассмотрим ее с несколько иной точки зрения. Наряду с хорошим, для такого сложного явлення, совпадением теоретических п. экспериментально полученных областей неустойчиво­сти, нетрудно заметить некоторое систематическое смеще­ние их друг относительно друга. Это говорит о том, что свойства зоны тенлоподвода не вполне совпадают с теми, которые были постулированы в начале предыдущего параграфа. По-видимому, в рассматриваемом случае свой­ства зопы 2 в некоторой степени зависят от частоты колебаний, поскольку расхождение между теоретически­ми областями неустойчивости и экспериментальными точ­ками систематически связано с измепеппем частоты коле­баний. Этот результат надо признать естественным. В гл. VII будет показано, что при сжнгаппи заранее подготовленной смеси за плохо обтекаемыми стабилиза­торами пламени механизм возбуждения п поддержания колебаний существенным образом связан с процессом •срыва вихрей со стабилизаторов. Из гидромеханики известно, что этот процесс может «подстраиваться» к ча­стоте колебания скорости газа, обтекающего стабилиза­тор. Однако трудно предположить, что па этот процесс пе окажут влияния другие свойства вихре образования.

Л..’/LP у т„н 3 м 11, Д е е п и с,’ Исследоваипе вибрацноппого горения в горелках. Вопросы ракетной техники, № 5 (23), 1954.

Можно было бы тем же методом, на который было указано несколько выше, найти в этих опытах изменение Uv и Uv по мере изменения частот колебаний, и получить таким образом более глубокое представление о свойствах зоны теплоподвода. Однако такой анализ не входит в задачи настоящего параграфа.

Заметим, наконец, что на рис. 51 приведены лишь те области неустойчивости, которые соответствуют сни­жению частот колебаний по мере увеличения длины горячей части. В то же время из левой диаграммы рис. 48

Рис. 52. Осциллограмма колебания давления при внбращюлпом горении. Іірлмер од повременного возбуждения двух частот,

Следует, что при двух открытых концах трубы в процессе дальнейшего увеличения длины горячей части частоты колебаний должны вновь перескакивать на более высокие гармоники. Хотя в экспериментах подобное явдепие наблюдается сравнительно редко (так как при этом должна существовать короткая холодная и относительно длинная горячая часть точения), его удавалось зареги­стрировать в установках, подобных той, которая исполь­зовалась для описанных здесь экспериментов.

Приведенные на рис. 48, 49, 50 и 51 области неустой­чивости расположены таким образом, что прп некоторых относительных длинах горячен части течения становятся неустойчивыми сразу несколько гармоник. Это приводит к тому, что иногда возбуждаются сразу две, а то и три гармоники. Явление это наблюдается довольно часго и становится из рассмотрения упомянутых здесь диаграмм в полис понятным. На рис. 52 дан пример осциллограммы колебаний давления, снятой при вибрационном горении; на осциллограмме хорошо видно наложение двух гармо­ник — основной и имеющей вдвое большую частоту. Иногда осциллограммы приобретают еще более сложный вид и их расшифровка требует применения специальных методов. Одпако обычно основная частота может быть выделена сразу н нередко на сопутствующие ей частоты просто не обращают внимания.

Теория

В конце предыдущего параграфа говорилось, что физической основой наблюдающегося скачкообразного изменения частот колебаний является способность коле­бательной системы как бы повторять форму стоячей волны дважды при возбуждении второй гармоники, триж­ды—третьей и т, д, С этой точки зрения совпадение теоре­тической картины скачкообразпого измепеипя частот коле­баний с опытом косвеппо свидетельствует о том, что и формы стоячих волн близки к теоретическим. Этот факт можно зарегистрировать непосредственно, путем измерения формы стоячей волпы прп возбужденных в спстеме коле­баниях. Проще всего это сделать для стоячей волпы давления. На рис. 53 приведены два примера сравнения
теоретических и экспериментальных эпюр абсолютных значений амплитуд стоячей волны давления. Как видно из диаграмм, опытные точки достаточпо хорошо следуют за теоретической зависимостью. Скачкообразное измене­ние теоретической эпюры в средней части диаграммы соответствует плоскости сильного разрыва X, которая представляет л идеализированном виде зону гореипя.

Если анализ процесса скачкообразного изменения частот колебаний при изменении длины горячей части трубы (п неизменной длипе трубы в целом) представляет скорее физический интерес, то реальпый практический иптерес имеет родственное явление, которое впешпе проявляется в известном смысле противоположным обра­зом. Речь идет о свойстве колебательной системы стре­миться к сохранению постоянного значения размерной частоты колебании при пепзмеппой длине горячей части и значительном увеличении общей длины трубы.

Пусть длила горячей части трубы Ьг остается постоян­ной, а общая ее длипа L непрерывно увеличивается. При этом относительная длина горячей части LJL будет уменьшаться, т. е. если вернуться к предыдущим диаграм­мам, движение будет идти не справа налево, а слева направо. Следовательно, та точка, которая соответство­вала исчезновению неустойчивости, будет теперь соот­ветствовать ее воз никп о велик» и наоборот.

(29.4)

Положим в утих формулах N=const, т. е. будем рассма­тривать родственные точки (паиримор, все левіле нлп все правые концы отрезков на рис. 51).

Пусть теперь, как уже говорилось выше, размерная длина горячен части течения будет постояіша (1/2=const). Тогда в правой части второго равепства (29.4) окажутся только постоянные величины. Следовательно, ло мере изменения общей длины трубы но при сохранении

В соответствии с формулами (29.1) можно написать
длины горячей части Ьг—const, колебательная система будет стремиться сохранить частоту колебаний Q неиз­менной при всяком новом возникновении неустойчивости.

Если обратиться теперь к первой формуле (29.4), то сразу видно, что это стремление колебательной системы может быть удовлетворено лишь за счет К, т. е. за счет перехода к возбуждению более высоких гармоник по мере увеличения общей длины трубы L.

Чтобы сделать эти выводы более наглядными, обра­тимся к примеру расчета. Найдем, пользуясь формулами

Я, г ер и

О 5 Ю ІЇ L, m

Рис. 54. Связь между возбуждаемыми частотами и длиноіі трубы при постоянной длине горячей части труби.

(29.4), прп N~ 1 моменты возникновения неустойчивости, а положив iV=0, сменив знаки прп на обратные п изменив абсолютную величину QW должным образом, моменты исчезновения неустойчивости. Результаты рас­чета построим в впде графика Q = Q (L), причем точкп начала и конца неустойчивости у словно соединим прямыми, чтобы отметить области неустойчивости. Соответствующее построение приведено на рпс. 54, причем около областей неустойчивости написано, каким К они соответствуют. Пример построен для численных значений параметров, совпадающих с теми, которые были характерны для эксперимента, представленного на рпс. 51. Прпведеппая па рпс. 54 диаграмма показывает, что в спстеме, независи­мо от длппы трубы L, можпо ожидать появлення колеба­ний только с частотами, л ежащими в пределах 61 —110 герц. 16 Б. В. Раутепбах

По мере увеличения общей длины трубы L частота коле — бапий в начале начинает снижаться, например, для области неустойчивости, соответствующей К = 1, со 110 герц до 61 герц, что вполне соответствует ожидаемому поведению системы, так как увеличение L увеличивает время пробега звукового импульса вдоль трубы.

Однако в дальнейшем не только не продолжается сни­жение Q, но, паоборот, частота скачкообразно повышает­ся вновь до 110 герц, поскольку неустойчивой стала сле­дующая гармоппка, соответствующая К-= 2. Прп этом

— 1-? д

Рис. 55. Энюры стоячих волн в трубах с одинаковой дли­ной горячей части течения.

D

І в

В некоторой области значений L могут одновременно существовать частоты порядка 105—110 герц и 61—72 гер­ца для лежащих друг над другом участков К=2 и К=1.

Описанное явление наблюдалось в специальном эксперименте. Свободно обдуваемая воздушным потоком труба имела телескопическое устройство, которое позво­ляло непрерывно наращпвать длину входного участка, не изменяя режима обдува входного сечения. В концевой части трубы располагалась зона горения. После возбужде­ния вибрационного горения производилось медленное увеличение длины холодной части трубы и велось непре­рывное наблюдение за изменением частот колебаний. Частоты колебаний первоначально имели тенденцию к сни­жению, но затем скачкообразно повышались до исход­ного значения.

Физические процессы, лежащие в основе явления, довольно просты. Пусть, например, существует некоторая труба с приблизительно одинаковыми длинами холодной и горячей части, и в ней возбуждены колебания основного тона. На рис. 55, А схематически показана эта труба н здесь же построена эпюра амплитуд колебаний давле­ния в пей. Предположим, что возбуждепная частота и связанные с ней эпюры колебаний 6р и bv реализуют такие условия в зоне горенпя, которые в наибольшей мере способствуют возбуждению системы. Тогда, но мере увеличения общей длины трубы, сохранение процессов в зоне — горепия неизменными (в частности, сохранение н конфигураций эпюр амплитуд колебаний bp и bv) возможно только путем сохранения размерной частоты колебаний (на чертеже — расстояний между узлами на эпюре), т. е. перехода к более высоким гармоникам. В нижней части рис. 55 приведена соответствующая схема трубы с удлиненной холодной частью.

Таким образом, возбуждаемая системой частота коле­баний в известном смысле определяется длиною и свой­ствами горячей части трубы, т. е. камеры сгорания. Сде­ланный вывод согласуется со всем имеющимся экспери­ментальным материалом.

Надо заметить, что этот вывод имеет большое практи­ческое значение. Дело в том, что нри исследовании камер сгорания возникает вопрос о возможности испытаний их изолированно от двигателя, путем присоединения к воздухопроводу, нередко имеющему очень большую длину. Казалось бы, при этом нарушается всякое подо­бие акустических условий работы и поэтому изучать на такой установке процессы вибрационного горения испы­тываемой камеры псльзя. Однако анализ явления, кото­рый был проведен выше, показывает, что это простое рассуждение является неточным и если камера сгорания склонна к неустойчивости (вибрационному горению), то эта неустойчивость проявится (причем в тех же фор­мах, без изменения частоты колебаппй п т. п.) п па уста­новке с длинным входным воздухопроводом.

Полученный результат не следует истолковывать в том смысле, что колебательная система вообще нечувствитель­на к изменению длины холодной части трубы. По сути, здесь было показано только то, что если вместо некоторой длины холодной части трубы Ьх взять другую, L*, то При условии, что новая длина будет во много раз больше исходной {Ll >L1)> процесс колебаний будет характеризо­ваться стремлением к сохранению как частоты, так и всех

1С*

Иных своих свойств. Это позволяет вести испытания камер сгорания на стендах, характеризующихся очень длин­ными воздухоподводящими трубопроводами, не слишком рискуя шість акустические условии в зоне горения, резко отличные от натурных. Однако пз отого вовсе не следует, что при изменении длины все свойства колебательной системы сохранятся. Чтобы показать это, рассмотрим такой пример. Пусть область неустойчивости мала и в нормальных условиях система не возбуждается.

Р

0 / 2 ~ 3 4 5

Рис, 5’і. Влияние длины трубы на устойчивость течения.

Начнем увеличивать длину холодиой части трубы Lx сохраняя все размеры горячей части постоянными. Тогда диаграмма распределения областей устойчивости, ана­логичная приведенной на рис. 54, может иметь впд, показанный на рис. 56. Пусть исходная полная длина трубы будет, например, X=2,5 м (линия АА на рис. 56). Это соответствует отсутствию колебаиий, поскольку линия АА пе пересекает областей неустойчивости (изображен­ных на диаграмме сплошными линиями). Удлиним теперь входной участок трубы, сохраняя размеры зоиы горения и участка трубы, по которому текут продукты сгорания, неизменными. При £/>3,1 м любая длина L будет соответ­ствовать какой-либо области неустойчивости (линия В В на рис. 56), т. е. при достаточпо большом удлинении вход­ного участка трубы, первоначально стабильный процесс может стать неустойчивым. Правда, это предполагает, что система в целом склонна к возбуждению, т. е. обладает областями неустойчивости. Таким образом, если система способна возбудиться, то эта способность особенно легко реализуется по мере удлинения входного участка точеппя.

Этот результат тоже представляет значительный прак­тический интерес. Он говорит, что если камера сгорания доведена на стенде с длинным трубопроводом и не дает па нем внбрационных режимов горения, то возникновение их прп переходе к более коротким входным участкам маловероятно. И в то же время, если камера сгорания доведена прп малой длине входного участка, то простое удлинение его способно привести к влбрацпонному горению.

Сказанное можно подтвердить следующим эксперимен­том. Для опытов была использована камера сгорания со входным участком течения, имевшим длину 700 мм. Изменяя подачу горючего, удавалось получать коэф­фициенты избытка воздуха от а = 1 до а=3. Во время опыта регистрировались амплитуды колебаний давлення перед зоной горения Ьр. Эти амплитуды относились к избыточному (по отношению ко в пешней среде) давлению полностью заторможенного потока воздуха перед каме­рой сгорания <j. Относительные величины возмущении

Давления ~ строились в фупкцпи коэффициента избытка воздуха а. На нормальных, «спокойных» режимах горе­нпя ^ пе превышало величин порядка 0,1—0,15. На рпс. 57 даны экспериментально полученные зависимо­сти ^ = /(а)для трех случаев: кривая а соответствует исходному варианту установки, с длиной входного участ­ка Јj=700 мм-, кривая с — длине входного участка 1400 мм кривая г — длине входного участка 2800 мм. Как видно пз эксперимента, нервоначально стабильпый процесс сгорания становился вибрационным (с увеличением амплитуд колебаппй в 5—10 раз) от одного только увели­чения дл пныхолоднон части течения L,, как это и следует из развитой теории.

Надо, правда, добавить, что рассуждения, на основе которых оылн получепы приведенные выше выводы, исходили пз предположения, что все области пеустой — чивости характеризуются совершенно одинаковыми меха­низмами возбуждения и гашения колебании. Это, конеч­но, не всегда имеет место, особенно если колебательная система способна возбудиться при помощи разных физи­ческих процессов, реализующих обратную связь (подроб­нее о них см. гл. VII). Все же подтверждение многих

Системы к возбуждению.

Следствий из развитой простейшей теории указывает на то, что ею можно пользоваться как теорией первого приближения.

В заключение настоящего параграфа полезно при­вести некоторые дополнительные данные по акустике стендовых установок, не относящиеся непосредственно к вопросу о влиянии отноептельпых длин горячей и холод­ной частей течения на области неустойчив ости.

Хотя испытания камеры сгорания на длинном подво­дящем воздухопроводе дают известную гарантию того, что прп переходе к более коротким входным участкам склонность колебательной системы к возбуждению ско­рее уменьшится, чем увеличится, иногда может предста­вить интерес пепытаппе камеры сгорания с коротким входным участком, па который не влияет подводящий воздухопровод. В этом случае мыслимы две схемы, кото­рые акустически разделяют входной участок камеры сго­рания и стендовый воздухопровод (рпс. 58).

Первая пз этих двух схем сводится к созданию реси­вера перед входным сечением канала, ведущего к камере сгорания, а вторая — к разрыву трубопровода в пужпом месте (опа нрнмепнма лишь прп ограниченных давлениях внутри трубопровода).

Рассмотрим первую из названных схем. Интуитивно ясно, что если ссченпе ресивера S2 будет много больше, чем сечение трубы Sv то ресивер фактически станет своеобразной «внешней средой», а в месте стыка образуется узел давления. Труба с камерой сгорания бу­дет как бы отделена от всех подводящих воздух магистралей. Обьгчпо сечение S2 не может быть сделано очень большим п поэто­му представляет инте­рес численная оценка влияния отношения S^ISi на степепь при­ближения условия па стыке труб разных диа­метров к узлу давления.

В книге Апдреева и Русакова1) приводится такое выражение для отношения амплитуды, прошедшей через стык труб волпы давлення, к амплитуде подошедшей волны:

2

= Г" •

Очевидно, что коэффициент 1] характеризует степень при­ближения рассматриваемого изменения сечения к полно­стью открытому концу. Прп этом г|=0 указывает на отсут — ствие проходящей волны (полное отражение), а г)=1 на то,

ST.

Рис. 58. Две схемы разделения стен­дового воздухопровода и входного участка камеры сгорания.

Д Р е ^mJ1- 11 ■ 11 р У с а к о в И. Г., Акустпка дви­жущейся среды. ГТТИ, 1934.

Дюс=ЯЮ.

Величина c/nami/vet/cp — го іїавлені/я, замерен­ная /7р&є£/жн6/м ш/77-

W/гом в указанных тач/гах {колебатель­ная сое/павля/ащая]

<П

Рік.’. 59. Эпюры амплитуд колебания давления на стыке ресивера и начального участка трубы камеры сгорапия.

Метрами 150, 300, 400 и 500 мм. По длине ресивера и тру­бы в окрестностях их стыка производилось измерение амплитуд колебания давления. Соответствующие эпюры и общая схема установки даиы на рис. 59.

Из приведенных графиков видно, что по мере увели­чения отпошеппя SJSx условия па степке труб все более приближаются к условиям, характерным для открытого конца. Даже такое небольшое увеличение диаметра прп переходе к ресиверу, как переход от 100 мм к 150 мм, дает четкую эпюру стоячей волны в трубе. С увеличе-

Что волпа полностью проходит. Таким образом, умень­шение ї) означает приближение к условию открытого кон­ца. В специально поставленном эксперименте цилиндри­ческая труба диаметром 100 мм, в которой происходило вибрационное горение, подсоединялась к ресиверам с диа-

	F^lF-
ХслсЗная час/пь	11 і камера
Труды	Сесраная
Груба камеръ/ сеараная

Точки зпмара статического давления

-Н

Пнем S., амплитуды колебании в ресивере, как и следовало ожидать, уменьшаются. По-видимому, достаточно полное разделение ресивера и трубы получается при 5а/51>3.

ТИ-

"Г

Вторая схема также изучалась экспериментально. Разрыв трубопровода имел ту же цель — сформировать колебания с узлом давления в месте разрыва. Схема

Подводящий тофпровоЗ, Тачки стигло чесШо ggj^ / Заметя

	_Г J
Л’олоЗтя vae/m трубы	Комора
Сгорания Труба кямедд/ егарания

Рис. 60. Эпюры амплитуд колебаппй давления в окрестпос-ш разрыва трубопровода.

Опытной установки и распределение амплитуд колеианпп при вибрационном горении, измеренных в окрестности разрыва, даны на рис. 60. Так же, как и в предыдущих опытах, в трубе диаметром 100 мм возбуждалось вибра­ционное горение. При разрыве Д£=10 мм колебания передавались через разрыв так, будто оп не существует. При этом частота колебаний (110 герц) оказалась в пол­ном соответствии с суммарной длиной обеих частей трубы,
разделенных разрывом. При разрывах в 20 мм и J00 мм картина резко менялась. Эпюра колебаний давления явно стремилась к нулю в месте разрыва, а в левой части трубы наблюдались колебания постоянной, но малой амплитуды. Прп этом частота колебании повысилась до 130 герц и стала соответствовать длине правой части трубы, без участка, лежащего по другую сторону разрыва. Это говорит о том, что для получения должного эффекта разрыв между трубами должен быть порядка 20% от диа­метра труб или больше.

Можпо, конечно, комбинировать обе приведенные схе­мы, делая подводящую трубу большего диаметра, чем труба, в которой происходит гореппе, и одновременно сохраняя разрыв.

Полученный экспериментальный результат хороню согласуется с опытами Коварда, Хартвелла и Джордж — сопа, описанными в § 1. Приближение в указанных опытах пластины к открытому концу трубы (диаметр ее был тоже 100 мм) практически не сказывалось иа харак­тере колебаний при расстояниях между пластиной и тру­бой, равных 60 мм и 30 мм. Прп расстояниях 15 мм и меньше характер вибрационного горения изменялся весь­ма резко (см. рис. 1). Таким образом, и здесь удаление пластины на расстояние, превышающее 20% диаметра, практически разрывало связь между колебаниями газа в трубе и подводимым к устью трубы препятствием.