Рассмотрим процесс, характеризуемый условием bv} = = 6i> = 6i>2. Тогда dbv = 0 н согласно формуле (11.17) два первых члепа в равенстве (11.19) дадут нуль. Это озна­чает, что вся энергия акустических колебании заимствует­ся пз кинетической энергии течепия. Наоборот, при про­цессе, характеризуемом условием Ьрх = bp = bp2, вся энер­гия акустических колебаний будет заимствоваться из тепловых члепов — внешнего тенлоподвода п внутренней энергии, перепоспмой течением. В каждом пз этих двух случаев колебательная система будет использовать какой — либо один источник энергии, п с этой точки зрения про­цессы в зоне теплоподвода, характеризуемые условиями Ьі^ = б:»= 6а, п Ьр1 = др — др2, можно назвать элементар­ными. Нетрудпо, однако, показать, что к элементарптлм процессам следует отнести более широкий класс процес­сов в зоне теплоподвода.

С точкп зренпя запмствопаштя энергии пз распола­гаемых источников приведенные _выше процессы и..зоне теплоподвода, характеризуемые условиями 6^ = 6v = 6f2 и б/?, = bp = б/?2, эквивалентны более общим процессам, характеризуемым равенствами = и Ьр1 = Ьрг. Действительно, сравним, например, процессы с 6t’r = 6с’2 и с floj = bv = 6у2.

Если предположить, что на границах области о все величины в обоих случаях изменяются одппаковым обра — т т

Зом н значения ~ АР dt и — ^ совпадают, то

О 6

Правые части равенств (Л. 17) и (11.18) будут численно совпадать. Одинаковыми будут, следовательно, и стоящие слева иптегралы. Таким образом, процесс заимствования энергии для иоддержаиия колебаний из располагаемых источников энергии не связан с характером изменения bp и bv вдоль области а, а однозначно определяется значепиями переменных на границах области а при условии, что задана величина изменения среднего значе — т

Пня теплоподвода — ^ AQ dt=AQcv (предполагается Р = 0). 6

Из (11.11) очевидно, что условия Ьр1 = Ьрй и 6t>x = 6a> сов­падают с условиями 6Х = 0 и ЬЕ=-0.

Будем изучать, основываясь на сказаппом, следующие элементарные процессы.

Первый элементарный процесс характеризуется усло­вием 6/^ = 6^2, или 6.Х = 0. Заимствование энергии про­исходит из внешнего теплоподвода и потока внутренней энергии.

Второй элементарный процесс характеризуется усло­вием 6а1 = 6и3, или 6Zs = 0. Заимствование энергии про­исходит нз потока кинетической энергии.

Рассмотрим более подробно первый элементарный про­цесс, в котором вся энергия для поддержания автоколе­баний заимствуется из тепловых члепов (теплоподвод и впутреппяя энергия). Условие Ьрі = Ьрг при сохранении неизменной величины Д(?ср выделяет целый класс про­цессов с одинаковым палучением акустической энергии областью о. Для фактического вычисления потока аку­стической эпсргпн -4s = Лх является безразличным, какой из конкретных процессов этого класса рассматривается»

Поэтому конкретизируем измепепия бр штутри а следую­щим образом: Ьр1 = Ьр= 6р2. Тогда, согласно (11.18) (при р = 0), последний член правой части равенства (11.19) дает после интегрирования пуль н поэтому суммарный поток акустической энергии для первого элементарного процесса представится в виде г

[bQ + biQWji-QWJz)]*^

О

Т

BPdbv]dt

Ї 6 а

Поскольку вдоль области a 6/j = const, имеем: ^ бр dbv = bp (6t>2 — bVj),

Ст

Что приводит к равенству

Т т

О о

Последнее выражеппе паипсано с помощью условий (11.11).

Физический смысл полученного соотношения весьма

Прост, Величина ЬЕ = — (bv2 — 6аА) характеризует коле­бательную составляющую процесса расширения некото­рого объема, поресекающего о, a bp является колебатель­ной составляющей давления в малой окрестности а. Поэтому величина Ах есть средняя работа расширения, сообщенная системе в процессе колебаний. Она будет положительной, еслп сдвпг по фазе между ЬЕ и bp пе

Превышает ~ по абсолютной волпчипе. Последний вывод следует из формулы

Л = ^ | ЬЕ ‘I bp I cos ti, 1

Где —фазовый сдвпг между ЬЕ и bp, (12.2) получается совершенно так же, как (11.5).

Как уже говорилось, равенства такого тни а удобно записывать в виде скалярных произведений входящих в них векторов. В частности,

A^-^bpbE. (12.3)

Чтобы построить диаграмму областей устойчивости, вос­пользовавшись равенствами (12.2) или (12.3), поступим следующим образом. Пусть излучение акустической энер­гии из открытых концов трубы отсутствует. Как было

Рис. 17. Диаграмма границ устойчи­вости для первого элементарного процесса (потери отсутствуют).

Показано в предыдущем параграфе, вектор bv в этом случае перпендикулярен к вектору bp. Направим вектор бр по оси х (рис. 17), п вектор бр — по оси у. Так как б t’j может і го совпадать с bv2, то условимся наносить па диаграмму б*;,. Положение бЕ на этой диаграмме полностью определяется углом Hj)j. Что касается абсолют­ных величин бр, bv и ЬЖ, то они могут быть в извест­ном смысле неопределенными — Действительно, если задача решается без формулирования начальных условий, то, как было указапо в § 8, решение не дает величии ампли­туд. Это иол о же ни е можно уточнить в том смысле, что решение для каждой гармоппки получается с точностью до неопределенного множителя; — амплитуда колебаний
каждой гармоники остается неопределенной, хотя соот­ношения между амплитудами б/;, б у и других переменных определяются однозначно. Проиллюстрируем это извест — пее нз теории дифференциальных уравпепип обстоятель­ство простым примером. Пусть при § = в течепип расположен узел давления /? = 0. При заданной частоте р фупкщш Фі (Іі) и Фг(£і) (4.14) определены однозначно.

,, An Фа

Второе уравнение (4.13) дает при этом = ~<р ) • Следовательно, хотя амплитуды Ар и А0 остаются не­определенными, отношение между ппми определеио.

Таким образом, диаграмма, приведештая на рпс. 17, может быть построена с точпостыо до масштаба. Одну из величин можпо выбрать произвольно, другие же опре­делятся одпозначно. Пусть, например, 6/?=1 и б р направлено по оси х. Тогда каждый из векторов 6v и ЬЕ будет иметь но только определенное паправление, но и определенную величину. Такая диаграмма удобна тем, что дает наглядное представлеппе об относительных величинах н фазовых сдвигах возмущенных параметров процесса.

(12./,)

Нанесем на диаграмму, построенную на рис. 17, гра­ницу устойчивости. Границей устойчивости будем назы­вать годограф таких значений вектора ЬЕ, при которых колебания происходят с постоянной амплитудой. В рас­сматриваемом случае (отсутствие потерь) условия (И.9) п (11.10) примут следующий впд:

Ах = 0 — граппца устойчивости, Аг > 0 —неустойчивость, Ах < 0 — устойчивость.

Из равенства (12.2) следует, что грапицеп устойчи­вости будет ось у — правая полуплоскость диаграммы будет соответствовать значениям бЕ, которые возбуждают систему, а левая полуплоскость таким ЬЕ, при которых возппкшие колебания гасятся. Следует ігапоміштг,, что векторы 6р п 6t> будут перпопдикулярпы лишь при,4, = 0. Поэтому прп положениях когтца вектора бЕ в точках нлоекостп {ху), не лежащих на граппце устойчивости, вектор не будет более совпадать с осью у.

Соотношения (12.4), формула (12.2) и приведенная диаграмма позволяют следующим образом сформулировать условия возбуждения в первом элементарном процессе.

Прп 6Х = 0 (6^ = б/л,) п при отсутствии потерь аку­стической энергии система будет возбуждаться, если между ЬЕ и колебательпой составляющей давления Ьр

V _ Я

Фазовый сдвиг по абсолютному значению менее —; если абсолютное зпачеине этого сдвига заключено между и л, то колебапня будут гаспться.

Полученный результат является обобщением критерия Рэлея на случай движущейся среды. Дело в том, что фаза бЕ и фаза колебательной составляющей теплопод­вода bQ совпадают лишь для пенодвпжиой среды. В не­подвижной среде расширение нагреваемого объема, кото­рое характеризуется величиной ЬЕ, точно следует за про­цессом виешпего теплоподвода бQ. Этот факт настолько очевиден, что пе нуждается в особом доказательстве. Поэтому для неподвижной среды можпо вместо ЬЕ брать bQ (если речь идет о фазовых сдвигах) и тогда приве­денное выше условно возбуждения совпадет с критерием Рэлея. Для движущейся среды фазы ЬЕ и bQ могут отли­чаться. Это будет показано в следующей главе. Таким образом, сформулированные здесь условия возбуждения охватывают более общий случай, чем критерий Рэлея.

(12.5)

Найдем условия возбуждения в первом элементарном процессе для случая, когда потери акустической эпергнп R отличны от нуля, и, следовательно, область о посто­янно излучает акустическую энергию для компенсации этих потерь. В таком случае вместо соотношений (12.4) следует написать:

А2 — Я — граница устойчивости, Ах > R — неустойчивость, Ах < R — устойчивость.

Взяв Лх по формуле (12.2) п положив |6jd[=1, полу­чим для границы устойчивости
т. е. проекция вектора а{ЬЕ на ось х остается постоян­ной п равной 2R. Это дает диаграмму, приведенную на рпс. 18. Границей устойчивости является прямая, перпен­дикулярная к оси х и отстоящая от начала координат па расстоянии 2R.

Важным отличием подученной здесь диаграммы устой­чивости от "диаграммы устойчивости, приведенной на рис. 17, является то, что теперь нельзя сформулировать условия возбуждепия, го — иоря лпшь о фазовых сдви­гах между ЬЕ її Ьр. При и1 ЬЕ < 2R возбужденно вообще певозмоншо, неза­висимо от фазового сдви­га — фі (следует помнить, что речь идет здесь об от­носительных величинах a ft Е и R, так как при по­строении диаграммы при­нято [ Ьр | = 1).

Условия возбуждения в рассмотренном случае трудно сформулировать так же просто, как и при Я = 0. Поэтому приведем их в виде аналитических соотношений, воспользо­вавшись формулой (12.3).

При 6Х = 0 и потерях акустической эпергнп R систе­ма возбуждается, если ~-ЬрЫ£ > R; колебания гасятся, если Ьр ЬЕ < R.

Эта формулировка является наиболее общей для пер­вого элементарного процесса.

Рпс. 18. Диаграмма границ устой­чивости для первого элемен­тарного процесса при наличии потерь.

В заключение следует обратить внимание на одну особенность возбуждения в первом элементарном процессе. Пусть колебательная составляющая теплоподвода bQ бу­дет точно синусоидальной, а средний уровень суммарного теплоподвода Qn Fe изменит своего значепия после нача­ла акустических колебаний. Тогда AQcp = 0 и вся энергия 7 Б. В, Раушенбах
на поддержание акустических колебаний будет заим­ствоваться из потока виутрепней энергии. Интересным является в данном случае то, что мыслим процесс воз­буждения акустических колебаний теплоподводом, при котором внешний теплоподвод пе используется в качестве источника эпергин для поддержания колебаний. Такой процесс невозможен, конечно, в неподвижном газе.

Обратимся теперь к рассмотрению второго элементар­ного процесса. Поскольку изучение этого типа возбужде­ния акустических колебаний теплоподводом во многом будет аналогично проведенному выше, изложим соответ­ствующие результаты более кратко.

Как уже говорилось, второй элементарный процесс характеризуется условием 6£ = 0 илн 6t»i = flu2. Для фак­тического вычисления потока акустической энергии в этом случае (обозначим его А2) конкретизируем измепепие 6v вдоль а следующим образом: = bv = 6а2. Тогда согласно формулы (11.17) два первых слагаемых в правой части равепства (11.19) дадут после интегрирования пуль и поэтому суммарный поток акустической энергии А^ = А2 будет равен

■г т

[ -^(т-т)] dt = T П SШЬр]dt

О о О

По условпго 6i> = const. Следовательно, т т

A^-^Ubp^dp^dvdt^^ ^dXbvdt. (12.6) о о

Последнее выражение написано с помощью условий (11.11).

Физический смысл полученного соотношения также весьма прост. Величина 6Х’= характеризует

Колебательную составляющую сопротивления, действую­щего на течение в области a, a 6v является колебатель­ной составляющей скорости в малой окрестности о. Поэтому работа А2 является работой сопротивления. Возбуждение системы в рассматриваемом случае зависит от того, может ли переменное сопротивление дать поло — жительиую работу, пе обходимую для поддержания коле­бании.

Для вычисления потока акустической эпергии Л2 можпо написать формулы, аналогичные формулам (12.2) и (12.3):

А = 16Х||б^|со5ф3( (12.7)

Л^Щ^ЬХЬг. ‘ (12.8)

(Здесь а|)2 — фазовый сдвиг ЬХ и би.)

Построим для второго элементарного процесса диа­граммы областей устойчивости по типу рассмотренных выше диаграмм.

При отсутствии излучепия акустической энергии из концов трубы векторы Ьр и bv взаимно перпендикуляр­ны; направив их так же, как па рпс. 17, получим диа­грамму, приведенную на рпс. 19. В целях единообразия

Сти для второго элементарного процесса (потери отсутствуют).

Эту диаграмму можно построить в масштабе Ьрх=> 1. Область устойчивости отделяется от области неустой­чивости па основании очевидных критериев:

= 0 — граница устойчивости, Лг > О — неустойчивость, ^а < 0 — устойчивость.

(12.9)

Первое пз написанных здесь условий вместе с формулой (12.7) плп (12.8) показывает, что границей устойчивости является ось х, а второе условие (12.9) указывает на то. что положение конца вектора 6Х в верхней полупло­ско с тп соответствует неустойчивому процессу.

Таким образом, условия возбуждения колебательной системы при реализации в зоне теплопровода второго элементарного процесса можно сформулировать следу­ющим образом.

Прп дЕ—0 (bvl~6v.2) и нрн отсутствия потерь аку­стической энергии система буДот возбуждаться, если между 6Х и колебательной составляющей скорости 6v фазовый сдвпг по абсолютному значенню мепее у ; если абсолютноо значение этого сдвига заключено между Y и я, то колебания гасятся.

В том случае, когда суммарные потери акустической энергии R отличны от нуля, вместо соотношений (12.{J)

Устои

Рис. 20. Диаграмма границ устойчиво­сти для второго элементарного про­цесса при наличии потерь.

Следует написать критерии, аналогичные (12.5). Онп дают следующие условия возбуждения для второго эле­ментарного процесса: при 6£ = 0 н потерях акустической

Энергии R система возбуждается, если ЬХ Ьг> > R;

Колебания гасятся, если ~±6Xbv<R. При этой*

Диаграмма областей устойчивости примет внд, изобра­женный на рис. 20. Граница устойчивости пройдет параллельно оси х на некотором расстоянии от начала координат.