Элементарные процессы в зоне теплоподвода дают весьма простые условия возбуждения колебательной системы. Фактическая реализация элементарных процес­сов обычно маловероятна; эти процессы представляют, главным образом, принципиальный интерес, поскольку позволяют отделить случай возбуждения колебаний за счет энергии, находящейся в тепловой форме, от слу­чая возбуждения колебаний за счет энергии, находящей­ся в механической формо.

Рассмотрим возбуждение колебательной системы, не накладывая па процесс внутри зоны теплоподвода никаких специальных условий. В общем случае как ко­лебания скоростей и 6v2 по разные стороны зоны а, так и колебания давлений 6р^ и бр2 будут различными. Суммарное излучение акустической энергии зоной а можпо, осповываясь на равенствах (11.6) и (11.8), за­писать в виде

Полученная формула позволяет находить поток аку­стической эпергпи, пзлучаемый областью и но параметрам, заданным на грапнцах этой области. Знание процессов, идущих внутри а, в данном случае необязательно. Эта форма записи удобпа, в частности, прп экспериментальных нее.’и. і і жылнях — нередко колебания скорости п давления по ооо стропы зоны теплоподвода замерить значптельпо проще, чем разобраться в явлениях, идущих в самой зоне теплоподвода.

Формуле (13.1) можно придать и другой вид, которым удобно пользоваться, если надо иайтп Ах по параметрам

Течепяя неред зоной теплоподвода и по характеристикам зоны теплоподвода. Путем подстановки 6р. г и 6о2, наиден­ных из первых двух равенств (11.11), в формулу (13.1), можно найти следующее выражение для А

= ^ (а1др16Е + KpJvfiX+KatffifiMC). (13.2)

Однако ни формула (13.1), ни полученное выражение (13.2) пе позволяют установить, какая доля потока происходит от энергии, находящейся в тепловой форме, и какая —за счет энергии, находящейся в механической форме. Чтобы решить этот вопрос, естественно попытаться заменить реальный процесс последовательностью двух элементарных процессов с потоками акустической энергии Ах и А2, так что л1 + і42 = і42. Нетрудно сообразить, что если на участке, где осуществляется первый элементар­ный процесс, величина др будет оставаться постоянной и равной <5р. у, а бо будет изменяться от бох до 6о2, в то время как на последующем участке будет сохраняться 60 = 6^!, а 6р будет изменяться от Ьрх до 6р2, то, как видно пз формулы (13.1), Лг приобретает нужную вели­чину. Однако более впимательпый апализ вопроса пока­зывает, что задача решается не однозначно. Действитель­но, можно получить Один и тот же суммарный эффект (величину потока акустической энергии, равную Л^), взяв две различные последовательности элементарных процессов: описанную выше или обратную ей (т. е. сначала изменить вариацию давления бр, а затем вариацию ско­рости bv). Хотя суммарный поток, излучаемый областью акустической энергии, и будет в обоих случаях одним и тем же, составляющие его слагаемые Ах и А2 изменятся.

Выход пз этого положения возможен путем приближе­ния фиктивпых схем к реальным. В действительности при теплоподводе измспение скорости п давления проис­ходит одновременно. Поэтому естественно разбить весь процесс на множество чередующихся элементарных про­цессов.

В рассматриваемом случае к течению внутри области теплоподвода а применимы обычные законы гидравлики и поэтому уравнение неразрывности и уравнение импуль­сов мождо записать в форме

Величины без индексов характеризуют параметры течения в некотором сечении внутри а. На правой границе области а они достигают значений q2, vt и рг Из послед­него равенства видно, что давлеине р и скорость v свя­заны линейной зависимостью и, следовательно, если р изменяется от рі до p2f a v от vt до v2, то равным долям изменения р соответствуют равные доли изменения V. Иными словами, котда в некотором сечении внутри а давление р достигает величины

Р = л + 0(ра-л) (0<0<1),

То скорость v достигнет в том же сечении значення

И = о1 + в(иг — о,)-

Последние два соотношения линейны относительно р и v, поэтому они справедливы и для вариаций давления бр п скорости bv в некотором сечении внутри ст: если

То

Если сравнить эти формулы с соотношениями (11.11), 10 легко видеть, что равным долям изменения 6Е соот­ветствуют равные доли изменения дХ. Это позволяет построить такое чередование двух элементарных процес­сов, которое в пределе совпадает с фактическим процес­сом, происходящим в области теплоподвода и.

На рис. 21 дана схема такого процесса. Разобьем всю зону и яа множество последовательных сечений. Грани­цами области о будут сечения 1 и 2п. (Здесь удобнее обозначить правое граничное сечение области и не 2, а 2п.) Пусть при переходе от сечения 1 к сечению 2п вариации давления п скорости bp и bv изменяются на следующие величины:

Разобьем процесс между сечениями 1 и 2п на 2п чередующихся эле. ментарньгх процессов. В п из пих пусть одинаковым образом изменяется только вариация ско­рости, п другпх и — только вариация давлепня.

Для первого типа элементарпых процессов можно написать:

= ^ = (i = 2, 4, 0. ..,). (13.4)

А для второго —

= ^ = ^ = (‘• = 2,4,в…). (13.5)

Из приведенных формул видно, что при каждом переходе через введенные фиктпвпые поверхности про­исходит изменение бо пліг bp па часть их общего изменения.

Следовательно, требование, чтобы равным долям изме­нения bp соответствовали равные доли изменения бо [см. условия (13.3)], будет удовлетворяться здесь для любого сечения с ошибкой, не превышающей часть общего изменения bv и bp. При п —> со эта ошибка будет

Стремиться к нушо, а фиктивный процесс неограниченно приближаться к реальному.

Паіідем иелпчины слагаемых полного потока акусти­ческой энергии и .’12 [см. формулы (12.1) и (12.6)]:

Т г

А = Г [ ^ &E’^&^pdt + 5 6£» 6рз л + • • ■ +

О (I

Г

-г 5 &Еп&Р-гп-1<м] . о

Т т

= ^ bXnb6Xn6u4dH-… + о о

Г

+ &Xn&v.2lldty

О

Если учесть, что

6/?1 = б/?2, bv.2~bvs, бръ = Ьр±, bv4-=bv-0,

П, кроме того,

= 6 р2 + б X п, б у3 = х — б II п, б/»6 = б/;4 4-6X)L, бсі. і = 6и3 ‘~ЬЕп,

То выражения для Аг и Л2 запишутся в виде т т

А, = І — [ $ б£„ бА Л + $ йд„ (бр, + ЬХп) d( + … 4-

О І)

А’

+ jj б£,г [б/Ji — Ь (п — 1) 6XJ с/г] , и

Т

= Г [ ^ 6Х» {bv, 4- ЬЕп) dt +

Г

Группируя должным образом слагаемые, найдем:

Т

А = у [пЬЕп bp, + [1 + 2 + 3 + … + (п — 1)| 6Еп 6Х„] dt, "о ■г

Л, = і ^ <«6Х„ dv, + [1 + 2 + 3 + . .. + п] 6Еп &Хп) dt.

Ь

Вспомнив известную формулу

1 + 2 + 3 +…+в = 1<!±1),

(13.6)

В пределе прп п—> со получим с учетом (13.4) и (13.5) следующие окончательные выражения для Лх и Л2:

= Г ^ С"1bE&p1 + ^l>E6X~)dt,

Т

А^Л^кр^ХЩ + ^бЕбХ^ Dt.

По аналогии с тем, как формула (11.4) была приведена к виду (И. б), полученные выражения можпо записать и в виде скалярных произведений

Л (13.7)

А2 = ± [адб^б^ + ^ЙЕб^] . )

Как и следовало ожидать, сумма А1—А2 дает выраже­ние, совпадающее с тем, которое было найдепо для Az непосредственно (выраженпс (13.2)).

Формулы (13.6) и (13.7) позволяют не только опреде­лить обще о количество акустической энергия излу­чаемое областью теплоподвода, но и выделить доли Ах и А2> связанные с двумя независимыми источниками энергии, которые питают колебательную систему.

Сравппвая формулы (13.7) с полученными ранее выра­жениями (12.3) п (12.8), справедливыми для элементарных процессов, необходимо подчеркнуть, что в общем случае величина Ах зависит ие только от абсолютных величин

ЬЪ bPi п фазового сдвига между иими. Даже если А2=О и энергия акустических колебаний заимствуется, таким образом, единственно из теплового псточппка, величина ее зависит и от 6Х, т. е. от вариации сопротивления. Это происходит потому, что ири 6Х=£0 существенная для заимствования энергии из теплового источпика величина Ьр меняется вдоль а. Поэтому сдвиг по фазе между ЬЕ и значением Ьр в левом граничном сечении области о уже но может определить характера всего процесса. Но в та­ком случае теряют смысл разного рода критерии возбу­ждения вроде критерия Рэлея, в которых говорится о необ­ходимости известного фазового сдвига между давле­нием и теплоподводом и т. и., так как на протяжении зоны и величина Ьр (в том числе п фаза Ьр) меняется, и становится бессмыслеппым само понятпе фазы Ьр как некоторой общей характеристики зоны о в целом. Совер­шенно такие же соображения можно привести и для случая АгФО, Ах = 0.

Чтобы закончить рассмотрение задачи об энергии, сообщаемой колебательной системе в общем случае, сле­довало бы построить диаграммы устойчивости наподо­бие тех, которые были приведены в предыдущем параграфе. Кроме того, полезно оценить относительную значимость каждого из двух источников энергии, питающих коле­бательную систему. Однако оба эти вопроса целесообразно рассмотреть после того, как будет дап метод фактического определения величин ЬЕ, 6Х и bS и рассмотрен вопрос о том, в каких случаях весьма сложные физические и хи­мические процессы внутри зопы теплоподвода можно опи­сывать при помощи этих трех безразмерных параметров.