При изучении процессов, связанных с возбуждением акустических колебаний путем нодвода тенла к движу­щемуся газу, нельзя пользоваться обычными уравнениями акустики. Это связано с тем, что уравнения акустики по­лучают, предполагая, во-первых, отсутствие какого-либо движения среды (воздуха) кроме движения, непосред­ственно связанного с распространением звуковых волн, и, во-вторых, считая среду изоэнтроппчной. Необходимые для исследования псходиые уравнения получим нутем линеаризации уравнений гидромеханики сжимаемой жидкости и термодинамики. Этот путь вполне естествен, поскольку звуковыеколебанияможно определить как коле­бательные движения в сжимаемой жидкости J), характе­ризуемые малыми амплитудами.

Как уже говорилось, в дальнейшем будут рассматри­ваться только продольные колебания в достаточно длин­ных цплипдрпческпх трубах. (Длинными трубами будем считать такие, у которых диаметр мал но сравнению с длиной трубы.) Это условие позволяет опускать деталь­ный анализ сложных явлений, имеющих место на кон­цах трубы, и заменить их некоторым интегральным эф­фектом в том виде, в каком он проявляется при некотором удалении от конца. Если, кроме того, условиться рассма­тривать лишь низкие частоты акустических колебаний (такие, для которых длила волны велика но сравнению
с диаметром трубы), то можно считать, что вдоль каждого поперечного сечения трубы все величины (скорости, дав­лення и т. и.) постоянны, а направление раси рост ранения волн возмущении совпадает с направленном оси трубы. Конечно, понятия достаточно длинной трубы и достаточно низкой частоты колебаний довольно неопределенны и сте­пень выполнения этих условий нужно оценивать в каждом конкретном случае, не ход я из физической сущности рас­сматриваемого явления и из требований, предъявляемых к теоретическому аиализу. В зависимости от того, должиа ли теория дать точпые количественные результаты или только указать на качествеиную сторону явления, эти ограничения могут изменяться в широких пределах. Здесь существенно лишь то, что в случае справедливости при­нятых допущений можно ограничиться рассмотрением задачи с одпомерной постановке.

(3.1)

Сделаем естественное предположение, что и основное течение в длинной цилиндрической трубе, па которое ока­зались наложенными малые возмущения, также может рассматриваться как одномерное. Будем считать газ идеальным (не вязким и не теплопроводным). Запишем основные уравнения одномерной гидромеханики, напра­вив ось у вдоль осп трубы

Дь, , 1 др,,

"5Г+ а — Н ЇГ — — 0,

At дх ‘ Q ах ‘

До, до, dv

01 [2] дх 1 4 дх

Ch , S. v „

Здесь t — время, v — скорость течения, р — давление, Q — плотность текущей среды, s—энтропия.

Первое пз этих уравнений является, как известно, уравнением движения жидкости (уравнение Эйлера), второе уравнением—неразрывности и третье — условием сохранения энтропии частицы.

В силу предположения об идеальности газа энтропия любой его элементарной частицы ие может измениться при движении по трубе в пределах тех участков трубы, в ко­торых отсутствует тенлоподвод. Это следует из того, что
‘Идеальность газа означает отсутствие вязкости и тепло­проводности. Отсутствие теплопроводности приводит к /тому, что температуры соседних объемов, нагретых неоди­наково, не могут постопенпо выравняться. Отсутствие же івязкости не позволяет механической энергии течения переходить в тепловую форму н тем самым изменять энтропию.

Таким образом, энтропия s каждого элемента движу­щегося по трубе газа будет оставаться постоянной, хотя соседпие элементы п могут иметь разную энтропию. Это справедливо, конечно, для движения газа по участкам трубы, в которых газ не подвергается внешним воздей­ствиям (теплоподводу н т. п.). Математическим выраже­нием этого и является третье из уравнений (3.1).

Допустимость использования предположения об идеальности газа для получения исходной системы урав­нений (3.1) не является очевидной. Строго говоря, следо­вало бы показать, что пренебрежешь вязкостью и тепло­проводностью не вносит существенной ошибки в резуль­таты анализа. Здесь этот вопрос не будет рассматри­ваться более подробно. Следует лишь указать, что более тщательный анализ, произведенный Мерном3), по сути подтверждает справедливость такого допущения. Им было показано, что учет вязкости и теплопроводности лишь незначительно искажает картину малых колебаний в бли — жапшей окрестности зоны теилоподвода п пе сказывается сколько-нибудь существенным образом на копцах трубы, т. е. в сечениях, для которых записываются краевые усло­вия. Влияние вязкости н теплопроводности на изменение энтропии должно быть более существенным. Однако в даль­нейшем изложении ноток энтропии п его возмущения почти не будут играть роли при анализе процесса возбуждения акустических колебаний.

Три уравнения (3.1) содержат четыре переменных: и, p. q и s. Легко заметить, что эти переменные не являются независимыми. Связь между тремя последними дается термодппампческим соотношением

5 = си1п7з-ср]пЄі (3.2)

Где cv — удельная теплоемкость при постоянном объеме; с,,—удельная теплоемкость при постоянном давлении.

Исключив прн помощи соотношения (3,2) одну из пере­менных пз системы уравнений (3.1), можпо свести число пероменцых к трем. Это, однако, удобнее сделать после линеаризации уравнений.

Будем рассматривать некоторый установившийся процесс течения газа по цилиндрической трубе. Исключим из рассмотрения участки теплонодвода. Тогда в силу сделанных выше предположений во всех сечениях между участками теплонодвода н в каждой точке этих сечений скорость газа, его плотность, давление и эптроппя будут одинаковы. Обозначим пх v0, q0, р0 и sQ. Пусть па уста­новившееся течение накладываются слабые возмущения параметров течения б v, bp, 6q и 6s. Этп возмущения будут, конечно, одинаковыми для всех точек рассматриваемого сечения, по могут быть разными для соседпих сечений. В этом их существенное отличие от Q0, Jl0 и s0, постоян­ных для всех сечений. Таким обра золі, для возмущеипого теченпн можпо написать;

У = + Би, р = р0-1 бр, j

Подставив выражения (3.3) в уравнения (3.1) п (3.2), отбросим величины высд[нх порядков малости п учтем свойства установившегося течения. Это позволит полу­чить уравнения, линейные относительно [bv, бQ, бр и бS. Покажем этот процесс па примере первого уравнения (3.1). Подставпв значення v, q it p из (3.3) в уравнение движения, получим:

Д(р0+бг?) . , t 1 д(ра^Ьр) п

01 ґ Q04-6Q ді

Если учесть, что в силу указанных выше свойств

0г> я n ft1,, л д Рп ~

Установившегося течения == (J, == 0; s= 0, написанное уравнение может быть приведено к следую­щему виду:

Dbv, т1 dbv, . dbv 1 dbp 6q ЬЪр дЪр п

При написании этого равенства была использована известная формула, справедливая для z < 1

ГЬ"1-*-1’8′

Где в —величина высшего порядка малости относи­тельно s. Применительно к рассматриваемому случаю ^Q С Qo это Дает

TOC o "1-3" h z 1 =_i 6Q_ ,

Ро+йе eu Qg "t_e’

Возвращаясь к предыдущему равенству, заметим, что

Fi dbv бе дії V дбр

Слагаемые ov^r-‘, 4V-B в——- являются членами выс-

Дх Q5 Ох ох

шего порядка малости по сравнению с тремя другими слагаемыми полученного равенства (при этом предпола­гается, что производные от возмущений имеют тот же порядок малости, что и сами возмущения). Отбрасывая эти малые слагаемые, запишем уравнение Эйлера в сле­дующей форме:

Dbv, dbv,1 dbp _ р.

Поскольку Vq и Qq П0СТ0ЯШ1Ы, это уравнение является лииейішм относительно переменных. В этом смысле оно сущеетвешю проще исходного уравнения движения (3.1). Одпако эта простота достигнута за счет сильного суже­ния области применимости нового уравнения. Если урав­нение в исходной форме (3.1) применимо ко всяким одно­мерным течениям идеальной жидкости, то в повой форме оно справедливо лишь для течений, мало отклоняющихся от стационарных. Использование в настоящей кпиге линеаризированных зависимостей вместо точных является вполпе оправдаютым, так как акустические колебания характеризуются малыми амплитудами. — Произведя линеаризацию второго и третьего уравне­ний системы (3.1), а также уравпения (3.2), получим следующую исходную систему уравнений возмущенного

0бр dbv 1 дЬр _ п dbs. d&s

Єо Ро

Относительно этой системы следует сделать одно заме­чание. В результате линеаризации уравнений (3.1) н (3.2) перемештые v, q, р и s заменены вариациями этих переменных bv, 6q, bp и 6s. Произведенные при лине­аризации выкладки существенно опирались па продно — Ложеиие о малости bv, 6q, bp и bs. Но если говорить о малости какой-либо величины, то всегда надо указы­вать, по сравнению с какой другой величиной ее сле­дует считать малой. Глядя на равенства (3^3), можно подумать, что имелась в виду малость по сравнению с уо> Qo> Ро и so — Однако это не совсем так. Действи­тельно, й неподвижной среде о0 = 0 и в этом частном случае сколь угодно малое 6о нельзя считать малым но сравнению с vQ. Аналогичные соображения можно привести и относительно bs. Как известно из термоди­намики, начало отсчета энтропии можпо пазпачать про­извольно. Взяв его равным s0, сразу получаем 50=0 и, следовательно, отклонения энтропии bs нельзя считать малыми по сравнению с s0. Лишь о 6q и bp можно го­ворить, что они малы по сравпснию с Q0 н р0, поскольку переход от уравиеппя (3.2) к линеаризованной форме, приведенной в последней строке системы (3.4), возмо­жен только при конечних значениях р0 и Q0.

(З/І)

Движения газового потока:

Когда говорилось о малости вариаций переменных bv, 6q. bp и 6s, то имелось в виду только то обстоятель­ство, что квадратами и произведениями этих вариаций и их производных можпо пренебрегать по сравнению с линейными члопамп. (Это не значит, конечно, что у на­званных переменных пет естественных масштабов малости, такие масштабы будут приведены в следующем пара­графе.)