В конце предыдущего параграфа был приведе и пример устойчивого течения, в котором акустические колебания демпфировались. Здесь не будут приводиться конкретпые примеры течений, неустойчивых но отношению к малым возмущениям акустического характера, этому посвящены последующие главы. Однако дать общую картппу даль­нейшего развития процесса неустойчив о с ти полезно уже сейчас.

Если течение оказалось неустойчивым (v > 0), то амплитуды всех неустойчивых гармоник будут возрастать со временем, пропорционально множителю evx. В зави­симости от величины v (инкремент возрастания колебаний v может быть различным для разных гармоник), амнлптуды неустойчивых гармопик могут расти в разном темно, по всем им свойственно беспредельное возрастание прп т—>со. Из физических соображений яспо, что такое развитие процесса колебаппи певозможпо, и полученный резуль­тат связан с недостатками математической идеализации явления.

Как известно, задача решалась для линеаризованных уравпеннй гпдромехапики, получеиньтх в предположении малости всех возмущений. Как, только вследствие возра­стания множителя evx возмущения перестают быть малыми, системы уравпопий (4.10) п (4.11), а вместе с ними и по­лученные решения перестают быть верными. Таким обра­зом, найденные выше решения годятся лишь для описания начальных этапов развития процесса.

Для получения более полной картины явления следует использовать более точные математические соотношения. Известно, что онн должны быть нелинейными. Можно было бы попытаться решать систему нелнпеарнзоваппых, точных уравнений гидромеханики (3.1) и (3.2). Соответ­ствующие методы существуют и составляют предмет тео­рии пеустановиншнхея движений газа *). Однако в нашем случае’ особый пптерес представляет тот класс задач, и котором линейные соотношения становятся неправиль­ными сначала для отдельных сечений потока (например, копцевых), и лишь затем для всего течения в целом.

Применительно к рассмотренному примеру это озпа — чает, что системы уравнений (4.10) и (4.11) п пх решения остаются все еще правильными уже тогда, когда краевые условия (8.1) должпы быть заменены более точными, не­линейными соотношениями.

Пусть, например, вместо краевых условий (8.1) будут справедливы условпя

P = (BL — v)o при | = 0, |

Р = 0 при | = 1, j

Где В} — достаточно. малая положительная величина. Тогда можно ожидать следующего хода процесса. При очень малых начальных возмущепиях В}) краевые усло­

Вия (9.1) будут практически совпадать с краевыми усло­виями (8.1), причем в силу неравенства > 0 течение будет неустойчивым. Малость В1 приведет к тому, что процесс неустойчивости будет развиваться медленно и по­этому в течепие одпого периода колебаний величину Вг — | г? | можно будет считать постоянной. По мере увели­чения амплитуд колебаппй величина | v | будет возрастать, разность — ] v | — уменьшаться п, следовательно, будет уменьшаться степепь неустойчивости. При = про­цесс колебаний установится, величина v станет равной нулю и амплитуды колебаний перестанут возрастать, іаким образом акустическая система рассмотренного типа будет совершать автоколебания с амплитудой, близкой кМ=-®і ир = 0в начальном сеченпп.

Іг — П — С т а п ю к о в и ч, Иеустаповіївтігося движения сплошпои среды, Гостохиздат, 1955.

Если какая-либо случайная причина уменьшит ампли­туду колебаний скорости, то течение станет неустойчивым и амплитуда v со временем вновь возрастет. Если же ка — кая-либо причина увеличит амплитуду колебаний ско­рости, то разность B1 — v] станет отрицательной, и это будет аналогом краевого условия р = В v при В < 0. Такому течению свойственна устойчивость (v < 0), его амплитуды будут убывать со временем и система вновь вернется к колебанию с амплитудой] v = sВг во входном сечении. Следовательно, возникшие автоколебания будут устой­чивыми — малые отклонения от режима установившихся колебаний в обе стороны будут постоянво сглаживаться с течением времени.

ГІроводепиое здесь рассмотрение является весьма при­ближенным и далеким от математической строгости. Оно имело единственной целью проиллюстрировать тот факт, что колебательная неустойчивость течеппя способпа при­вести "К автоколебаниям, и указать на такой тип автоко — лебапйй, в котором прекращеппе роста амплитуд проис­ходит задолго до того, как стали неправильными акусти­ческие закономерности, найденные па основе лпнеариза — цип уравнений гидромеханики.