Ниже будут использованы три способа записи пере­менных, которые лучше пояснить на примере. Пусть рас­сматривается изменение двух переменных sr. и у:

Из приведенных выражений видно, что рассматри­ваются две переменные, одинаково изменяющиеся во вре­мени, но имеющие разные начальные амплитуды (,гл и у0) и разные начальные фазы (ср п г|>).

Запись изменится следующим образом, если исполь­зовать комплексные числа:

Х = I

У = j

Теперь х и у являются комплексными числами, и чтобы получить такое же изменение переменных, как в формулах (2.1), надо условиться считать, что физиче­ский смысл имеют лишь вещественные части х и у. Это не значит, конечно, что мнимые слагаемые х и у вводятся «зря». Действительно, нусть

TrQ = ax + ibx,

Тогда начальные амплитуды | х0 | = |/а| +61 и | yQ | = = а начальные будут у = arctg-^-; ф =

= arctg — .

(2,2)

Следовательно, комплексные начальные амплитуды аг0 и г/о определяют и начальные амплитуды и начальные фазы переменных. В этом их существенное отличие от и у0 в равенствах (2.1). Преимуществом записи перемен­ных в форме (2.2) является то, что зависимость от вре­мени выделена в отдельный мпожитсль exp(v + i’co)T, который одинаков для обоих церемонных, в то время как в запнеп (2.1) эти зависимости были различными в силу того, что включали начальные фазы ср и г|э. Кроме того, множитель exp (v — j — г со) т никогда не обращается
в нуль. Приведенные здесь соображения делают заинсь вида (2.2) иредпочтительной, и ниже будет в основном использован этот способ записи перемепиых.

В тех случаях, когда зависимость переменных от вре­мени литере с а не представляет, п главным является соот­ношение между амплитудами и фазами переменных х и у, можно для характеристики этих соотношений исполь­зовать комплексные амплитуды п у0.

Действительно, умножение х0 и у0 на зависящий от времени множитель exp (v — f zco) т, хотя и изменяет ампли­туды и фазы х и у, но не пзменяет отношения xjy и разиости фаз, которая продолжает оставаться равной

Таким образом, в указанных случаях можно нсиользовать комплексные амплитуды хь я у0 вместо х и у, причем время начала отсчета т = 0 назначить так, как это удобно ио существу задачи. Поясним это на при­мере. Пусть, например, требуется, чтобы начальная амплитуда х’0 была вещественной величиной. Этому соот­ветствует момент времени х = т0, определяемый равен­ством

AKeVXa sin (от0 Ьхеух° со* сот0 = 0.

Если ввести теперь новую шкалу времени т’ так, чтобы выполнялось равенство х = %’— т0 и новые началь­ные амплитуды, то вместо равенств (2.2) можно написать:

Гд-©

У’ -.у E{v+in)т0. і

Записи (2.2) и (2.3) совзршенно эквивалентны по су­ществу и одинаковы по форме, но начала отсчета вре­мени в пых отличаются на т0, причем в заииси (2.3) удовлетворяется условие, чтобы в момент т’ = 0 х было вещественной величиной. Таким образом, должным выбо­ром отсчета времени можно выполнить некоторые требо-
ванпя о начальной положении вектора х в комплексной илоскости.

В тех случаях, когда изменение перемениых во вре­мени интереса не представляет, можио для суждения об относительных амплитудах и разностях фаз пользоваться не только комплексными амплитудами и?/0, но и век­торами xQ и у0.

Такой сиособ записи переменных имеет известные пре­имущества. Пусть, например, ио существу рассматри­ваемой задачи иадо наинсать, что с/івпг по фазе между J»o и Уо равен ~ . Наиболее простой эта запись получится, если вместо :гп и yQ ввести векторы и у0 и прирав­нять их скалярное произведение нулю:

Т

А’оУо =

Другой пример. Надо вычислить величину (0

Dt,

О

Причем х а у предполагаются записанными в виде (2.1) для v = 0. Легко убедиться, что эта величина равна

— x^cos (ф — Ijj).

Следовательно,

2л ш

<i) С, 1 2- rydx=-j-XtfQt

І

Т. е. векторная запись переменных может оказаться и в этом случае весьма полезной.

В дальнейшем в настоящей книге будут использованы все три формы записи перемепных: (2.1), (2.2) и вектор­ная. Выбор того или иного способа всецело зависит от существа рассматриваемой задачи и обычно не оговари­вается специально. Следует лишь подчеркнуть, что в тех
случаях, когда производится рассмотрение нелинейных соотношений [задача об автоколебаниях, составление выражений вида (2.5) и т. п.], комплексные не ременные, соответствующие записи тина (2.2)Д нснользованы быть не могут. Это связано с тем, что вещественная часть произведения ху [где х и у комплексные величины, запи­санные в форме (2.2)] и произведение ху, вычисленное для (2.1), не равны друг другу. В связи с этим комплек­сная форма записи переменных будет применяться только в линейных задачах.