Настоящая глава посвящена решению задачи об устой­чивости точения подогреваемого газа в предположеппн, что акустическая энергия ие излучается из кондов трубы и, следовательно, не рассеивается в окружающем про­странстве. При теоретическом анализе термического воз­буждения звука такое предположение делается почти всегда, так как оио с известпым приближением справедли­во для случая возбуждения низких частот, представляю­щих осповной интерес. Приближенная постановка задачи позволяет во многих случаях получить обозримые анали­тические результаты, в основном справедливые и при бо­лее общих предположениях о рассеивании акустической энергии. Здесь не будет проводиться оценка допустимости сделанного предположения, поскольку в следующей гла­ве рассматривается аналогичная задача с учетом потерь эпергпи на концах трубы.

В отличпе от предшествующих глав, где по сути рас­сматривались элементы процесса возбуждения акусти­ческих колебаний теилоподводом (распространение про­дольных акустических возмущений по трубе, вопросы изменения этих возмущений при пересечении ими области теплоподвода), здесь будет дано рассмотрение задачи в це­лом, с использованием полученных выше результатов. Однако прежде чем приступать к решению поставленной задачи, надо сделать одпо замечание.

Во всех предыдущих рассуждениях, когда на основании эпергетических соображений строились границы устой — чпвости, постоянно отсутствовало одно логическое звепо. Все полученпые выше результаты в конце концов своди­лись к утверждению, что еслп соотношеппя между фазами и амплитудами колеблющейся системы и процесса тепло­подвода соответствуют определенным условиям, то система возбуждается. Точнее говоря, доказывалось, что если про­цессы в зоне теплоподвода пмеют определенный колеба­тельный характер, то в системе возбуждаются акустиче­ские колебания. Одпако чтобы процесс замкпулся, надо еще показать, что акустические колебания среды в свою очередь приводят к колебательным процессам в зоне те­плоподвода. Наличие этой обратной связи сделало бы воз­можным самовозбуждение колебаний в спстеме. Это можпо показать путем такого качественного рассуждения: пусть в спстеме возникло слабое акустическое возмущение — оно привело к возмущению в зоне горенпя — в резуль­тате возникло новое акустическое возмущение, которое сложплось с предыдущим и усилило его, — успленпое акустическое возмущение привело к усиленному воздгу — гцению процесса в зоне горепия — последнее вновь дало дополнительное усиливающее акустігческое возму­щение и т. д.

Следовательно, к уже доказанным выше положениям, что колеблющийся процесс горения способен вызвать аку­стические колебания, надо добавпть доказательство того, что акустические колебания в свою очередь способпы вы­звать колеблющийся процесс горенпя. Существование этой обратной связи является чрезвычайно важным моментом в цепп рассуждении. Если обратиться к апалпзу физиче­ских процессов, лежащих в основе возникновения обратной сня. чн, то окажется, что их довольно много, оня сложны и достаточно разнообразны. Это делает необходимым по­святить вопросу о механизмах обратной связп специаль­ную главу книги (гл. VII). Чтобы уже здесь придать па — глядпость этим рассуждениям, полезно дать какой-либо пример явления такого рода. Укажем с этой целью на поч­ти ^очевидный факт: акустические колебания связапы с ко­лебаниями скорости течения, а скорость течения влияет, как известии, на процесс горепня (изменяет конфигурацию фронта пламени, изменяет скорость сгорапия и т. п.). Таким образом, колебания скорости течения, вызванные акустическими явлениями, порождают в свою очередь ко­лебательное горение.

Ниже будет показано, что приведеними пример не ис­черпывает всей массы возможпых мехапизмов обратпой связи, однако его упоминание здесь необходимо для того, чтобы показать, что механизмы обратной связи фактиче­ски существуют и что поэтому все предшествующие рас­суждения не были беспредметпыми. Кроме того, указапие на важпость этого звепа в процессе возбуждения колеба­ний заставит читателя более внимательно следить за пред­положениями, которые будут делаться в ходе дальнейшего изложения и которые всякий раз в явном или неявном виде будут содержать какое-то допущение, эквивалентное вве­дению обратпой связи.

Рассмотрение вопроса о возбуждении колебаний в тру­бе без потерь па концах целесообразно начать с уже из­вестных простейших случаев, которые характеризуются реализацией элементарных процессов в зоне теплоподво­да, с тем, чтобы применить к ним новый метод решепил.

Примем, для определенности, что па концах трубы рас­положены узлы давлення. Пусть плоскость теплоподво­да 2, эквивалентная области теплоподвода о, располагается па расстояниях и £2 от концов трубы. Расположим на­чало координат в сечении, совпадающем с 2, так что левый конец трубы будет иметь коордппату < 0, а пра­вый |2 > 0.

Краевые условия запишем в следующем виде:

Тогда пз решения (4.13) получим:

(22.1)

Здесь Vj, pv v.2 и /;2 —значения возмущений v п р в сече­нии | = 0, соответственно слева и справа от поверхности 2.

Начнем рассмотренпе задачи с того случая, когда процесс в зоне теплоподвода характеризуется условием

Из канонпческой формы записи условий на 2 (17.1) следует, что при 6£ = бХ = 0 — p1 = mpg. Но тогда система (22.1) становится линейной и однородной относи­тельно рг п v2- Она будет иметь нетривиальные рсшеппя при условии

I Ф2 (У ф] (У I ~

Получениоагу характеристическому уравнению системы прп <р2 ф 0 можпо придать следующий вид:

= (22.2)

<Р»(Ь) Фа С Єї) Восполъзомпшиеь формулами (4.14), получпм, полагая P = V + !’M:

(22.3)

Фа Ш і. 4VE „ 2ve 2©І

™ і _u exp 2-=— 2 0XU — j cos —, ~

1 1— Ml r 1 — M2 1—ML

Знаменатель получеішого выражения всегда больше пуля (так как случай ср2 = 0 исключен пз рассмотрения). Если учесть, что п и т в уравпеппи (22.2) — чпсла положи­тельные по определению, то, ограничившись пока рас­смотрением лишь вещественной части уравнения (22.2), сразу получим:

С (1 — exp — D (1 — «р — j^jhj.) = 0, (22.4)

Где С и D —некоторые положительные числа.

Прежде чем приступить к анализу полученного соот­ношения, обратим внимание на одпо важпое обстоятель­ство. Стоящие в показателях степени величппы Vj и v2 пли, в более общем случае, комплексные частоты и {32, входящие в функции ф15 ф3 и ф3, различны для «холод­ного» и «горячего» участков трубы. Это связано с тем, что для используемой в настоящей книге системы безраз­мерных переменных (4.8) масштабы времени — различны по разные стороны 2 вследствие измепення скорости звука а при подогреве газа. В то же время физически очевидно, что размерная частота колебаний должна быть единой для всей трубы. Основываясь на этом, нетрудно установить связь между и

= (22.5)

Следовательно, между v-, и v2 будет существовать ана­логичное соотношение:

1

Vo = — vi. /і 1

Теперь равенству (22.4) можно придать более удобный вид

Рассмотрим соотношение (22.6) более подробно. В нем

Величины Су D, .. ^ ж, положительны. Коор-

‘ п (1—М|) 1 —МI дина ты узлов давления и |4 имеют разные знаки: ^ < О и е3 > 0. Следовательно, оба слагаемых левой части урав­нения (22.6) имеют одинаковые знаки, независимо от зпа — ка v. Равенство пулю этой суммы возможно лишь в том случае, если каждое слагаемое в отдельности равно нулю. Отсюда сразу находим:

Vj = 0.

Таким образом, здесь получен тот же результат, что и выше, при энергетическом рассмотрении задачи: если ЬЕ — ЬХ = 0, то возникают нейтральные колебания. Сле­дует заметить, что в настоящем параграфе этот вывод получен лишь для частного вида краевых условий — узлов давления иа концах трубы. Однако его легко распростра­нить и на более общий случай. Пусть слева и справа от 2 в некоторых (необязательно концевых) сечениях и І2 будут располагаться не узлы давления, а узлы скоро­сти или узел скорости с одпой, а узел давлення с другой сторопы. Йзмопение краевых условии указанным здесь образом приведет к характеристическим уравнениям типа (22.2). Отлично будет сводиться к ‘тому, что вместо отно­шений функций — в уравнения войдут отношения — либо

Т2 фі

Ф. ф2 ~

Одновременно ~ и —. Однако из теории комплексных чисел известно, что знаки вещественных частей комплекс — пых чисел z и — одиттаковы. Поскольку приведепный выше вывод основан именно на рассмотрении знаков вещественных частей фупкцни он будет справедлив

., Ф2

И для характеристических уравнении, содержащих —

Фі Фз или — и — одновременно. ф2 фі

Полученный здесь результат, как уже указывалось, пе нов. Однако сравнивая использованный в настоящем параграфе метод решения задачи об устойчивости течения подогреваемого газа с развитым рапес энергетическим методом, можно указать па известные преимущества рас­смотренного здесь способа решения. В отличие от энер­гетического метода прямое решение характеристического уравнения позволяет найти, в частности, частоты колебаний.

Действительно, верпемся к уравпепито (22.2). Исполь­зуя формулу (22.3), наппшем теперь второе следствие из уравнения (22.2), приравняв нулю его мнимую часть. При этом учтем, что v = 0, п примеппм известное тригонометри­ческое тождество

Sin а __ и^ 1 —cos u ~~ k 2

Тогда получим

Уравнение (22.7) позволяет найти дискретный ряд частот со, удовлетворяющих характеристическому урав­нению.

Пусть теперь процесс в зоне теплоподвода характери­зуется условием ЬХ = 0. Это соответствует рассмотренному в предыдущих главах первому элементарному процессу. Тогда условия па 2 (17.1) примут следующий вид-.

Vx = пщ — ЬЕ, }

(22.8)

Pi = *прг )

Чтобы связать явным образом величину ЬЕ с фазой колебания, примем, что

&Е = ур1, ‘ (22.9)

Где у—некоторое комплексное ЧИСЛО.

Введенный здесь чисто формальным образом комплекс­ный коэффициент у имеет глубокий физический смысл. Запись равенства (22.9) является формальным введепием той обратной связи, о которой говорилось в пачало цастоя- щего параграфа. Пусть физический процесс в зоне горе­ния остается неопределенным, но равенство (22.9) указы­вает, что колебания даплеппя рх вызывают соответствую­щий колебательный процесс в зоне теплоподвода.

Действительно, поскольку 6Х = 0 110 условию, то ЬЕ вполне характеризует возмущения процесса теплоподвода в той мере, в которой это нужно для решения задачи. Равенство (22.9) показывает, что эти возмущения связаны с возмущениями и, следовательно, если рг будет коле­баться, то колебаться будет и ЬЕ, причем с той же частотой. Величина у однозпачно определяет соотношение между амплитудами ЬЕ п р, (модуль числа у) и фазовый сдвиг между ніш и (аргумент числа у).

Воспользовавшись равенствами (22.8) и (22.9), вернемся к уравнениям (22.1). В рассматриваемой! случае характе­ристическое уравнение рассматриваемой системы будет отличаться от уравпения (22.2) лишь правой частью:

«ЗШ-тШ^ — ту. (22.10)

Фг (!*) Фа (Si) J К ‘

Ограничившись, как и выше, рассмотрением веществен­ной части уравпенпя (22.10) и приведя те же рассужде­ния, что и при получении равенства (22.6), напишем соотношение, определяющее вещественную часть числа у.

Нв(унЖехртаГ О + К1-^!^?)]-

(22.11)

Анализ этого равенства, основанный па том, что * — * положительны, в то время как gL < О

N(l— Ml) 1—М±

А > 0, показывает, что величины, стоящие в круглых скобках, имеют тот же знак, что н vr Но тогда, учиты­вая, что т, С и D тоже положительные величины, можно утверждать, что вещественная часть числа у имеет знак, совпадающий со знаком vv

Если вернуться к равенству (22.9), то становится очевидпым, что знак вещественной части у определяет фазовый сдвпг между ЬЕ и pv Вчастпостп, положитель­ный знак Re (у) говорит о том, что сдвиг но фазе между

БЕ и р{ меньше по абсолютной величине, чем, в то время как отрицательному значению Re (у) соответ­ствует фазовый сдвиг, лежащий между ~ и л.

Сопоставив этот результат с полученным в § 12 усло­вием возбуждения в первом элементарном процессе, сразу видим пх нолпое совпадепие: система возбуждается (v > 0), если сдвиг по фазе между ЬЕ и рх по абсолютному значе — л

НИЮ менее "2" •

Точно так же, как п в рассмотренном выше случае, в силу совпадения знаков и этот резуль­

Тат распространяется на более общий случай.

Совершенно аналогично можно было бы получить и свойства второго элементарного процесса.

Как видно из материалов настоящего параграфа, выводы, полученные ранее нри анализе энергетических соотношений, могут быть получены и непосредственно, путем решения характеристического уравпения. Сравнивая эти два способа, следует сказать, что если энергетические методы несколько проще и отличаются большей нагляд­ностью, то решение характеристического уравнения позво­ляет не только найти условпя возбуждения, но дает воз­можность численного определения частот колебаний и декрементов (инкрементов) убывания (возрастания) коле­баний.

В частности, приравняв вещественную и мнимую части уравнения (22.10) порознь пулю, можно было бы напи­сать два уравнения, связывающие только вещественные 12 Б. в. Раугпенбах

^(V,; ш1) = 0.

Совместное решепие этих двух уравнений позволило бы найти пары значений Vj и удовлетворяющих характе­ристическому уравнению (22.10). Здесь это не делается, так как песколько ниже аналогичная задача будет решена для более общего случая.