В предыдущей главе было рассмотрено возбуждение колебательной системы при реализации элемептарпых процессов в зоне теплоподвода.

Рассмотрим в настоящем параграфе метод построения границ устойчивости наподобие тех, которые строились в § 12, но теперь для процесса в зопе теплоподвода, который не является элементарным. Однако предвари­тельно получим некоторые следствия из найденных в на­стоящей главе выражений.

Прежде всего следует убедиться в том, что введепные ранее элементарные процессы в зоне теплоподвода могут реализоваться фактически, и поэтому проведенные выше рассмотрения пельзя считать отвлеченными теоретиче­скими схемами.

Как следует нз формул (17.3) и (17.4), условия 6£ = 0 или ЬХ = 0 действительно могут быть реализованы. Пусть, например, заданы возмущения переменных перед зопоп теплоподвода vx, Pi и Эти три величины определят 6Х0, п для того, чтобы ЬХ обращалось в нуль, необхо­димо выполнение условия ЬХ’——ЬХ1У Таким образом, в зоне теплоподвода будет реализован первый элементар­ный процесс, если величина 6Х’ будет иметь вполне определенный модуль и аргумент. Это можно осуществить
самым различным образом, поскольку для получения нужного значения ЬХ’ можпо воспользоваться четырьмя независимыми параметрами: Jlf /2, /3 и Q. Если рас­сматривать для оиределешюстп простейший случаи воз­буждения акустических колебаний в трубе Рийке-, то вдіє с го четырех свободных параметров сохранится лить (J* — безразмерное возмущение внешнего теплоподвода. Равенства (16.1) и (17.4) показывают, что первый эле­ментарный процесс в трубе Рийке будет реализован при

7)*—

Вполне определенной колеблющейся составляющей тепло­подвода. Точно такое же рассуждение можно провести и для обоснования реальности второго элементарного процесса (6£ = 0).

Вторым обстоятельством, которое нужно отметить, является то, что в движущейся среде фазы ЬЕ и колеб­лющейся составляющей теплоподвода Q ие совпадают. Действительно, рассматривая, например, простейшпй слу­чай колебанпп в трубе Рийке, можно на основании фор­мул (16.1), (17.3) и (17.4) написать

6E = &EQ-{-2blsM*Q*.

Поскольку фаза ЬЕ0, вообще говоря, не совпадает с фазой Q*, высказанное утверждение доказано. Это обстоятельство позволило рассматривать условия возбу­ждения, полученные в § 12 для первого элементарного процесса, в качестве обобщения критерия Рэлея (послед­ний оказывается справедливым лишь при совпадении фаз ЬЕ н Q*).

Рассмотрим теперь некоторые свойства, которыми могут обладать процессы в зоне теплоподвода и которые позво­ляют во мпогпх случаях получать восьма наглядные диаграммы областей устойчивости.

Как уже указывалось выше, грапица устойчивости определяется равенством (11.9) = В общем случае из (13.2), вводя безразмерный поток акустической энергии по формулам

J=—; Л = (19.1)

У-а^Рх ка-іРі

1

As = ~ (і^б^-f і^ЬХ + ЬЕЬХ). (19.2)

Условие существовании границы устойчивости запишется в виде

(19.3)

Равенства (19.2) п (19.3) показывают, что при задан­ных рг и Vi существует сложная совокупность значений 6JE и ЬХ, удовлетворяющих условию, определяющему границу устойчивости. Этой совокупности трудно придать наглядность, так как связь между искомой величиной и двумя векторами сводится, как известно, к связи этой величины с четырьмя скалярными переменными. Кроме того, не следует забывать, что п величины рх и г?-, могут изменяться (при перемещении поверхности разрыва Z вдоль стоячей воліпл, возникшей в спстеме).

Анализ условии возбуждения обычно сильно упрощается в тех случаях, когда величины ЬЕ и ЬХ оказываются функциями одной и той же комплексной переменной, єсліі ие считать зависимости их от и sx. Приведем

Несколько примеров таких процессов в зоне топлоподвода.

В качестве первого прпмера рассмотрим все те слу­чаи, когда процесс в зоне теплоподвода может быть пред­ставлен как процесс подвода тепла в некоторой области, неподвижной относительно стенок трубы и имеющей пре­небрежимо малую протяженность в направлении осп трубы (труба Рнйке и т. п.). Малая протяженность области теплоподвода при условии ее неподвижности приводит к тому, что,/j =/3 = ,/3 = 0 и, следовательно, как пока­зывают формулы (16.1) и (17.4),

ЬЕ’ = 2b13M2LQ*, )

В случае горепия вместо 2MQ* может стоять вели­чина Q.

Получим

Вторым примером будет случаи постоянного теплопод­вода на подвижной поверхности пламени. Как видно из

Формул (16.2), (16.3) и (16.4), /3, 72 и 73 будут фупк — 1 д т.

Дней величины которую можно представить

Как сумму vL и Ux или Uх офф. Таким образом, величины ЬЕ’ и ЬХ’ окажутся функциями v1 и возмущения эффек­тивной скорости распространения фронта пламени отно­сительно холодной смеси:

ЬЕ’ ^gev^ ЬЕи13фф, | ЬХ’ = axv1 + bxUl эфф, )

Где as, йх, Ье, — некоторые числеипые коэффициенты.

Величина V], вошедшая в формулы (19.5), не мешает считать ЬЕ’ и ЬХ’ функциями одной переменной £/1Эфф. Дело в том, что Vy (как и рх) обычно задается, кроме того, г входит в формулу (19.2) непосредственно и со­держится в членах 6Х0 и ЬЕ0. Таким образом, свобод­ным параметром, который можпо варьировать произвольно и влияние которого па устойчивость имеет смысл изучать, является комплексная переменная £/10фф.

В качестве третьего примера рассмотрим процесс, в котором как Jlt J2 и /3, так и т)СР и qY отличны от пуля. Пусть, например, в зону горения поступает смесь с перемеппым коэффициентом избытка воздуха а. Такая смесь будет характеризоваться отличным от нудя. Если предположить, что полнота сгораиия т]С1, однозначно определяется a, и plt и положение фронта иламепи, а следовательно, и Jlt /2 и /3 также являются функ­циями a, t)i и ръ то величины ЬЕ и ЬХ будут зависеть только от а, в том же смысле, в каком выше говорилось о зависимости ЬЕ и ЬХ только от £/"1Эфф.

Количество подобных примеров можно было бы увели­чить. Для всех приведенных случаев анализ условий возбуждения упрощается потому, что зависимость As от одного комплексного параметра может быть хорошо пред­ставлена на плоскости. Это позволяет осуществить по­строение наглядных диаграмм границ устойчивости. Чтобы не быть связанным с каким-либо одним конкретным примером, будем рассматривать задачу в более общей поста­новке—будем считать, что величины ЬЕ и ЬХ зависят от некоторого комплексного параметра Y (безразмерного возмущения какой-то существенной величніш Y), а также от Рі п Cj. Формулы (17.4) показывают, что можно ожи­дать зависимости ЬЕ и ЬХ и от sx, но обычно течение в холодной части трубы, до пересечепия потоком воздуха ЗОНЫ теплоподвода НЗОЭНТрОПИЧНО и поэтому Sj = 0.

Следовательно, в рассматриваемом случае первые два уравнения (17.5) можпо записать в следующем виде:

Где aik — некоторые численные коэффициенты [отличные от обозначенных таким же образом коэффициентов урав­нений (17.5)]. _

Вычисление Л2 по формуле (19.2) в рассматриваемом случае пе имеет смысла, так как соотношения (19.6) не содержат ЬЕ и ЬХ, выраженных непосредственно через Y. Воспользуемся поэтому формулой (13.1), которая при переходе к безразмерным переменным примет следующий вид:

Л2 — у (19.7)

Здесь, как и ранее, п — ~, т = .

% ад

Рассматривая входящие в равенства (J9.fi) перемен­ные v, р и У как векторные велпчипы, возьмем скалярное произведение этих равенств друг на друга.

Р%*>2 = «ІІ^І^І 4- fif/^pl Н — anai3 У2 4-

+ (йыд22 + а]2а21) рхРг +

+ (anajs 4 «13я43) і?! У + (пІ2й, з + «13а,2) рТ.

Используя (19.7) и последнее равепство, получим пз (19.3) следующее соотношение, эквивалентное условию устой — чивоети:

Л У’2 Вр, Т-f CvjT+Dp* + FpLv} — R^ 0, (I’J.8)

Где А, В, С, D, Е и. F —численные коэффициенты,

1 п 1

= — nmav/i.2:}, D = — пта12а22,

Я = -1 пт (йх.,а.,3 -t-ff^rc^). Е = дтаиа21, С = ^ (аиЯгз + я13а21), ^ = у [лт (ЛцО^Н — а]2а21) — 1J.

Воспользуемся условием (19.8) для построения диа­граммы граипц устойчивости. Построение начнем с наи­более простого случая, характеризуемого отсутствием потерь акустической энергии.

Пусть слепа и справа от зоны теплоподвода потери акустической энергии равны нулю (например, слева и справа от указапиой зоны расположены узлы скорости или давления). Тогда, как это было показано в § 11 при обсуждении формулы (11.7), векторы р и v должны быть ортогональны и поэтому = jp3?, = 0. Поэтому вместо равенства (19.8) получим

А Г2 + Вр^Г -1- Сг, У + Dp] + ЕЇ = 0. (19.9)

Границу устойчивости будем строить в прямоугольной системе координат (х, у). Пусть векторы рг, і и Y приложены к началу координат и вращаются вокруг него с частотой со (см. § 2). Выберем такой момент вре­мени, когда вектор р, будет направлен по оси х, а ось у направим по вектору rv Вектор I" будет расположен некоторым произвольным образом относительно осей коор­динат. Границей устойчивости в плоскости (х, у) будем называть геометрическое место концов векторов Г, удов­летворяющих (19.9). Введем обозначения для векторов Рх, vі и Y через их проекции на оси х и у. Опп будут выражаться следующим образом: (рг, 0); (0, Vx) (Yx, Yv). Запишем теперь сумму скалярных произведений (19.9) через проекции сомножителей;

^ (П + П) + Врг¥х + Cv, V„ + Dp’ + Evx = 0. (19.10)

Нетрудно видеть, что при заданных и vx уравне­ние (19.10) указывает па движение копца вектора Y но
окружности, положение и радиус которой зависят от рг и vv Следовательно, множество векторов У, возбуж­дающих колебания, отделяется от всех остальных па плоскости (х, у) годографом, имеющим форму окружно­сти. Поскольку размеры и положение этой окружности изменяются с изменением рг и vv различным положениям плоскости теплоподвода 2 по длине трубы — ближе

Или дальше от узла дав­ления, — или различным частотам колебаний, т. е. различным рг и i>, мо­гут соответствовать раз­личные границы устойчи­вости. Таким образом, условия возбуждения си­стемы могут изменяться при изменении положе­ния 2, или частоты коле­бания. На рис. 2(5 изобра­жена граница устойчивости

Pi п 1»!.

У

Для заданных Pi и vi

Vj

Рис. 26. Диаграмма устойчивости Для некоторых заданных

Ma основании проделан­ных выкладок можно ут вер-

Ждать только то, что при положении конца вектора У на изображенной окружности колебания будут нейтральными. Вопрос о том, по какую сторону окружности лежит область устойчивости, а по какую область неустойчиво­сти, требует дополнительного исследования. В большин­стве практических случаев не возникает необходимости проводить такое исследование, поскольку ответ бывает ясен из физпческой сущности задачи.

Однако апализ этого вопроса не представляет боль­ших трудностей н в тех случаях, когда физические сооб­ражения не дают сразу очевидного решения.

Можно провести, например, следующее качественное рассуждение. Пусть величина Y такова, что процесс ней­трален. Сохраним значение рг и vx и изменим песколько Y (таким образом, чтобы конец этого вектора сошел с гра-

Ницы устойчивости). Тогда равенство (19.10) нарушится, причем, основываясь на рассуждениях, проведенных прп выводе уравнения (19.8), можно будет написать

А (УІ + ?l) + BPlYx + Cv1Yy + Dp + Az.

Прп отсутствии потерь в системе границе устойчиво­сти соответствует А? = 0, > 0 дает неустойчивость, а < 0 — устойчивость процесса. В начале координат Yx = Yy = 0 н А% = Dpx— bvv Следовательно, еслп

Dp*±Ev*<Q, (19.11)

То процесс в окрестности начала координат устойчив, а значит неустойчив внутри окружности.

Условимся штриховать область неустойчивости. Тогда при выполнении неравенства (19.11) внутренняя часть окружности на рис. 26 будет заштрихована. Такая именно картина наблюдается, например, в тех случаях, когда акустические колебания возбуждаются теплоподводом, сконцентрированным в одной, неподвижной относительно стенок трубы плоскости (труба Рийке и т. п.).

Нестрогость приведенного здесь качественного рассу­ждения заключается в том, что при А% ф 0 колебания перестают быть гармоннчеекгши, приведенные выше фор­мулы для потоков акустической энергии становятся неправильными, а угол между векторами рх и начи — jt

Нает отличаться от — у — .

Если стреїситься к более точному анализу, то это обычно проще всего сделать путем фактического вычис­ления декремента затухания колебаний для какой-либо точки диаграммы, например, начала координат. Соответ­ствующие методы будут развиты в следующих главах.

Сравнивая полученный здесь и приведенный на рпс. 26 результат с рассмотренными в предыдущей главе усло­виями возбуждения в двух элементарных процессах, легко отметить усложнение условий возбуждения. Это услож­нение выражается в том, что, во-первых, фазовые соот­ношения между Y и рх пли I’j пе могут быть сформу­лированы так просто, как для элементарных процессов;

Во-вторых, помимо фазовых соотношении, приходится учитывать и амплнтудпые, т. е. величину | Y и, в-третьих, условия возбуждения зависят от положения плоскости разрыва 2 по длипе трубы (от рх и vt). Следует заметить, что такое усложнение уел опий возбуждения не связано с переходом к параметру Y вместо ЬХ и ЬЕ. Рассмот­рение задачи о границах устойчивости при заданных Pv vlt ЬХ Ф 0 и переменном ЬЕ (или при заданном ЬЕф О и переменном 6Х) показывает, что и при таком подходе фазовые соотношения усложняются, начинает играть существенную роль абсолютная величина пере­менного параметра (ЬЕ или б А’) и условия возбуждения становятся функцией положения плоскости 2 по длипе трубы (функцией Pi и с/,). Таким образом, в отлнчне от элементарных процессов (при ЬЕ пли ЬХ, равном пулю) все остальные процессы по своей физической сущности дают сложные условия возбуждения. Причина кроется в том, что в этих случаях происходит заимствование энергии из двух источников одновременно, что приводит к сложной картине их взаимодействия. Несколько под­робнее этот вопрос будет освещен ниже.

Гравица устойчивости, изображенная на рпс. 26. полу­чена в предположении, что значения рх и vx заданы. Однако здесь уже неоднократно подчеркивалось, что в зависимо­сти от положения зоны теплоподвода нс) длине трубы (точнее, в зависимости от ее положения относительной стоячей ВОЛНЫ возмущения) значения р, И V! могут изме­няться, а следовательно, б}гдет смещаться и изменять свои размеры окружность на рис. 26. Поэтому естественно поставить вопрос о нахождеппп семейства таких окруж­ностей, соответствующих всем МЫСЛИМЫ)! для данной трубы значениям рх и vv

Здесь речь идет, конечно, не об абсолютных значениях и с,, а о соотношении между ними. Как уже говорилось, применяемый метод дает все величины С ТОЧНОСТЬЮ до масштаба.

Решение задачи о колебаниях в переменных и, w показывает, что при нейтральных колебаниях обе эти величины остаются постоянными по абсолютному значе — нию для любых сечений трубы, если между этими сече­ниями нет поверхностей разрыва. Такому условию удов­летворяет, в частности, отрезок трубы, по которому течет холодный газ. Поэтому можпо написать, что на этом участке

I Wj | = const, ] w, І = const

Пли

= const, u = const. Соотношения (4.9), связывающие переменные и. w иp, v, позволяют на этом основанпп написать: + Pi — const,

Vf — 2 v2Pi — f р* = const. Отсюда получаем связь между р и і’ в случае нейтраль­ных колебаний

1І +" Р — const — Написав скалярные квадраты через проекции векторов, найдем

+ = const. (19.12)

Уравнение (19.10) показывает, что положепио центра окружности, изображенной на рис. 26, определяется координатами:

— 1 в ~ 1 — о ~л Pi>

ЛС_ (19.13)

Сравнивая равенства (19.12) и (19.13), можпо видеть, что центры окружностей уа) будут гіеремеїцаться но дуге эллипса. Надо лишь добавить, что центры (zQ, уа) будут располагаться пе на всей дуге эллипса, а лишь на одной из четвертей его дуги. Действительно, в вы­бранной системе координат рг и ц всегда положительны. Положение искомой четверти дуги эллипса зависит от зна­ков численных коэффициентов ^ и ~. Расчеты пока­зывают, что, например, для случая возбуждения коле­баний переменным тепЛОИОДВОДОЛІ (У = Q) этой четвертью всегда будет четвертая четверть.

Проводеииый анализ позволяет утверждать, что се­мейство всех границ устойчивости составлено множеством окружностей, центры которых перемещаются по четверти дуги эллипса. Огибающая этого семейства ограничит

Область, изображенную на рис. 27 (эта область построена для опреде­ленности применитель­но к случаю У=0. При попадании конца векто­ра Y в заштрихованную область возбуждение си­стемы становится воз­можным.

Реализация этой воз­можности связана с тем, находится ли конец век­тора Y внутри той из окружностей семейства, которая соответствует фактическому положе­нию поверхности разрыва 2 (фактическим рх н flj). Внутри заштрихованной области может существовать подобласть, принадлежащая всем окружностям семейства. На рис. 27 она заштрихована в клетку. При попадании конца вектора Y в эту подобласть возбуждение становится возможным вне зависимости от положения поверхности 2 вдоль осп трубы. В этом смысле можно говорить о значениях вектора Y, прп которых, возбуждение особенно вероятпо. Положение конца вектора Y вне заштрихованных областей всегда соот­ветствует устойчивости системы.

Рис. 27. Диаграмма устойчивости для произвольных pj ii vx.

Чтобы правпльно понимать смысл построенных диа­грамм, укажем на одно важное обстоятельство. Каждая окружность — граница устойчивости—строилась для за­данных, неизменных значений рх н vv Но это не означает, что все режимы, соответствующие точкам такой окруж­ности, могут быть фактически реализованы в одной и той же трубе. Действительно, пусть режим колебапий, соот­ветствующий одной из точек некоторой границы устойчи-
востп, реализован в трубе с областью теплоподвода, распо­ложенной на расстоянии Ьх от входного конца п Ь2 от вы­ходного. Примем, что на концах трубы расположены узлы давления. Перейдем теперь мыслеппо в соседнюю точку той же окружности — границы устойчивости. Тогда рх п vx не изменятся, а частота со не сможет измениться, так как иначе нарушится краевое условие па входе. (Это видно, например, из формул (4.13) и (4.14).) Таким образом, при переходе в соседнюю точку границы устойчивости процесс колебаний во входном участке пе меняется. Перемещение но окружности границы устойчивости означает в этих условиях только изменение вектора У".

Как видно из уравнений (19.6), изменение Y при непз менных р1 И vx неизбежно приводит к изменению р., И Vc,. Поскольку размерная частота колебаний одинакова для обеих частей трубы, частота колебаний в горячей части трубы не может измениться. Но тогда функции ц>х и ср2 для горячей части тоже останутся неизменными и крае­вое условие па выходном конце нарушится в енлу измене­ния величии р2 и 1?2 в плоскости теплоподвода [величины Av и Л в равенствах (4.13)]. Чтобы сохранить краевое условие па выходе, необходимо изменить длину Ьг. Таким образом, двигаясь по окружности границы устойчивости, приходится мысленно изменять какую-либо характери­стику трубы, например длину Lv

Этот страппый, па первый взгляд, результат вполне естествен, так как при построении граппц устойчивости были использованы только энергетические соображения и краевые условия никак не оговаривались.

Еслп краевые условия заданы, то при измен сипи У будут меняться не только р2 и i? a, но ирj. и частота ко­лебаний, а граппца устойчивости для подобной трубы фиксированных размеров будет составляться точками, принадлежащими разпым окружностям уже найденного в настоящем параграфе семейства. При этом область неустойчивости окажется внутри заштрихованной части диаграммы па рис. 27.

В заключение следует обратить внимание на вид грапиц устойчивости рассматриваемого тина в тех случаях, когда плоскость 2 находится точно в узлах скорости плп давле­ния. Следует, правда, оговориться, что термин «точно» имеет смысл лишь для элементарных процессов, так как в общем случае возмущенно давления или скорости при

Рис. 28. Диаграммы устойчивости при поло­жении плоскости теплоподвода 2 в узле скорости и узле давления.

Пересечении области теплоподвода а пе остается неизмен­ным. Если условиться считать положением плоскости 2 в узле совпадение ее с сечением, Где /.>!= О или ut= О, то соответствующие границы устойчивости займут, соглас­но формул (19.13), положения, указанные на рнс. 28. Слева дана диаграмма для положения Z в узле скорости, а справа — в узле давлеппя.