С = Cr Ot + во о, — °°

	Т=0,5	Т=0
О	Фф	. уФ Arctg —— хф	Ч	. уФ arctg ——
1 0,8 0,7	1,6 1,8 1,92	2° 17′ 2°35′ 2°45′	2,18 2,83 3,35	4°59′ 6°27′ 7=42′

Обратимся теперь к более общей и сложной (неавтомодельной) задаче о развитии турбулентного диффузионного факела конечного размера. Значительную часть решения выполним для факела в спутном потоке, однако конечные расчетные выражения и их иллю­страцию приведем раздельно для затопленного факела (и^ = 0), представляющего самостоятельный практический интерес, и для

Спутного факела. Это облегчит в дальнейшем сопоставление резуль­татов расчета с опытными данными по затопленному (см. § 3-1) и спутному (см. § 3-2) турбулентным факелам.

Схема спутного факела конечного размера была показана на рис. 2-1. Пусть в движущийся со скоростью и^ неограниченный по­ток окислителя (при температуре газа Т^ и концентрации сб J) из осесимметричной или плоской горелки размером у0 вытекает струя топлива с начальной скоростью и0, температурой Т0 и концентра­цией са0. По обе стороны замкнутого фронта пламени расположены внутренняя зона I (топливо и продукты сгорания) и внешняя зона II (окислитель и продукты сгорания). Решение проведем, как и в § 2-2, с помощью метода эквивалентной задачи теории теплопро­водности. Поскольку задача о факеле конечного размера неавтомо — дельна (в условия ее входит размерная длина — радиус или полу­ширина сопла горелки у0), безразмерные функции Ft будут зависеть от двух безразмерных координат £ = | /у20 и у — yly0 в отдель­ности: F{ = Ft (£, у). В этом случае, как было указано в § 2-1, аналитическое решение неавтомодельной задачи может быть по­лучено в предположении о равенстве единице постоянной о = = или, что то же, об одинаковости приведенных координат =|. В этом приближении и будем решать задачу, объединив решение для обоих симметричных типов двухмерного (круглого, или плоского) факела.

Поскольку математическая постановка задачи — исходные урав­нения и граничные условия для функции Ft — была сформулиро­вана ранее (см. § 2-1), запишем сразу решения уравнений (2-3) в безразмерном виде:

Fl{i, y) = Al + BlLQi, y). (2-17)

Значения постоянных А{ и В{ находятся из граничных условий (2-4). В результате получим выражения для распределения основ­ных функций во всем поле факела. В частности, распределение плотности потока избыточного количества движения в факеле бу­дет единым для всей области течения:

У) = = L(, у). (2-18)

Ро"о («о-"-)

Напомним, что под функцией L, у) следует понимать Р-функ­цию для осесимметричной задачи и Ф-функцию для плоской, опре­деленные формулами (1-27).

Для плотности потока избыточной энтальпии и вещества (кон­вективный поток топлива рисй — в зоне I и продуктов сгорания рисв — в зоне II) получим разные выражения для внутренней (/) и внешней (II) зон факела:

Для зоны I

Р _ р»ср(Т — Гф) = р = рисд _ J _ 1 —ЦІ у) ,2 ig.

49

‘ РоИоСро^о-Гф) " PoUoCao І-Ціф. Уф)’

3 Заказ Ni 2565

Для зоны II

Р = {Л1СР ^ р = Рисв = L у) (2 20)

" Рф"ферф(гф-г«) " " Рф"фсвф Уф)’

С помощью равенств (2-18) — (2-20) можно путем алгебраиче­ского расчета определить выражения для распределения в факеле скорости течения, температуры и концентраций. Введем обозначения:

"оо Тл. р0 Тл. Р+оо

Ф

Ри и

M =—, ш, = — — , м. — — ф —

«о ‘ ‘ Г0 РФ ‘ " Т^ Р,

Расчет выполним параллельно для обеих зон. — Из выражений (2-18) и (2-19) для зоны I и (2-18) и (2-20) для зоны II получим по два уравнения для каждой зоны с неизвестными ри/(ри)0 и «/«„- Для зоны I

— m) = (1 — m) F,

(ри)о "о

1 (р«)о "о 1 I откуда приходим к квадратному уравнению относительно скорости

— (1— m)wlF^0. (2-21) Решение уравнения (2-21) для зоны I имеет вид

И m + (I + ">I)FI+ ]/[(!-«>,) f1-m]» + 4(I-m)<DIF _= . _ .(2-22)

Запишем также частный случай этого выражения для скорости на фронте пламени, который будет неоднократно использоваться в дальнейшем:

Т Цф __ _ "о

(2-23)

+ j/m2 + 4( 1 —

[(на фронте Fw= 0, F^ — L (5ф, г/ф)Ь

Ри (рм)о ц0

Аналогично этому для зоны II от уравнений

Т) = (1 — т) F,

Ри ■ — —-со

1 (ри)о 11 "о "о

— = ^Ф. f l — to F и иа «Л1 mIljflI

Приходим к квадратному уравнению

— ото»,, + ^ (ш. — 11 F.. -!L + 4m(w )F,,~

J

(

Ш

II

Н «о I I ) " ц0 ц0 V ч /II

— (1 — m)iBxF = 0. (2-24)

Из уравнения (2-24) получим для зоны //

И «о

„ (С°П~[12])^П—тщП +4 (1—m) a)|(oj[/’

, (2-25)

Заметим, что на фронте пламени с учетом формулы (2-23) это равенство обращается в тождество.

Выражения (2-22) и (2-25) позволяют по найденному распреде­лению скорости определить все однозначно связанные с ним пере­менные во всем поле факела.

Для удобства конечные выражения характерных величин в со­кращенной записи сведены в табл. 2-3, в которой обозначены:

/ю 4ші 0 —m)F, /п = (1 — a»,) F1 + т, /l2 = — Ml) Fl — Аз = "ф (MII — FU +

/.4 = "ф(МІ|-1)/71І-тМІІ-

В табл. 2-4 указаны расчетные выражения для частного случая затопленного факела (и= 0, т = 0).

В выражениях, стоящих в табл. 2-3 и 2-4, функции Ft опреде­ляются через частный интеграл уравнений (1-26) — функции у) — согласно формулам (2-18), (2-19) и (2-20). Для отыска­ния значений переменных на оси факела (при у = 0) следует вос­пользоваться формулами (1-31) и (1-32) соответственно для функ­ций Р (g, 0) и Ф (|, 0) —для осесимметричного и плоского факела.

Перейдем теперь к определению местоположения фронта пла­мени в пространстве g —у. Для этой цели следует вновь восполь­зоваться приближенным соотношением на фронте пламени

Для краткЬсти приведем вначале (и то в сокращенном виде) расчет для более простого частного случая затопленнбго факела (от = 0). Заметим при этом, и это относится к любому факелу ко­нечного размера, что замена д/дп ^ діду в условии (1-7) приводит к некоторому искажению’ формы факела в конечной его части. В этом приближении расчетная граница фронта (/ф (Нф) и соответст­венно Уф (*ф) подходит к оси х под некоторым отличным от нуля углом, вершина фронта пламени в расчете оказывается заостренной.

3* 5t

Таблица 2-3

Зона

Функция

Выражение

/п + V Л2+/1,

U «о

/13 + 1^/14 + »и/ю

2а,,,

-/|2+ К /?2+Л(

II

2ш,

Р"

(Р")о

II

2ш,

(Р")о

Сд CflO

1 —

Ри

ТФ — То

= 1

II

(ри) О "Ф fII

Р«

Выражение для производной концентрации топлива найти не­трудно:

DL (f, у)

Ф — ч. I — L (?ф, Уф)

Дса Ду

I О "ф

Определение производной концентрации окислителя требует некоторых дополнительных преобразований. Ввиду того, что

U Ф — та>пи,

І а ри _ и ф

Ро«о /ф «ош1 иф(Ш|| — I) — /ПШцМ,, МЄф. Уф)

Где Иф определяется выражением (2-23). 52

Таблица 2-4 Функция Зона Выражение И «0 / (I —l+l/j+4 . ‘ 2 V (1-^У F> J // 2o>i [ + + 1 /1 + 4 ■ F V (1 -»„)2 v?, Р и (р«)о / 2», [-У (1 _„,)* F? // 1 — Шц,——- —- Т^’п^ф ■ + 2(0 НУ Ш1 + 1/1+4 • 77 V. (|-"„)2 Vn] Т — r0 j ся 7ф Г0 са0 / 1—- — (р")о Ри Гф-7*- сб.» // І/ . Fu (Р")о К 0>| ри

С учетом последнего равенства условие (2-7) приводит к транс­цендентному уравнению

I — L уф) [«+|/~т»+4(1-«)у.(Еф, УфГ]2

2L (Єф, уф) m (Ші _ і) + (Шп + ymt + 4 (, _ т) (5ф>

= 2^! Is*-. (2-26)

WI1 Сб, ОО

В частном случае затопленного факела (и^ = 0, т — 0) урав­нение (2-26) переходит в квадратное уравнение относительно функ­ции L (£ф, уф):

L* (Еф, уф) — 2 (2F + 1) L (6ф, Уф) + 1=0. Решение его имеет вид

Y) = (VҐTT~vJ, (2-27)

Где

Найденные по формуле (2-27) значения функции L (|ф, уф), т. е. значения функций Р (£ф, уф) или Ф (Еф, уф) соответственно для осесимметричного или плоского затопленного факела, позволяют с помощью таблиц функций (см. приложение) определить границу. фронта Уф = у (£ф) для заданного значения параметра р.

Из равенства (2-27) найдем также приведенную длину затоплен­ного факела У%! = Уіф при у = 0. Для осесимметричного фа­кела

^ = {41п[1-(1/"^ТТ-р)2|р. (2-29).

При > 1, разлагая экспоненту в ряд и ограничиваясь пер­вым членом, получаем

7==-—. • (2-30)

Аналогично этому для плоского факела значение У^ можно найти из решения трансцендентного уравнения

При 1, используя известное разложение в ряд

( ^JL erf (г) = __£—————- ?!_ + _f!——— … ж г для г < Л,

^ 2 w ON 1! 3 2! 5 /

Имеем

УТі« —— ^. (2-32).

1 — fj)

Для круглого факела расчетная зависимость VI от параметра Р показана на рис. 2-4.

Результаты расчета для затопленного осесимметричного факела будут в § 3-1 сопоставлены с опытом Для плоского затопленного факела аналогичные экспериментальные данные, с которыми можно
было бы сравнить результаты расчета, отсутствуют. Заметим, од­нако, что и те, и другие расчетные результаты в качественном от­ношении согласуются с развитыми ранее (см. § 1-3) соображениями.

Возвратимся к расчету фронта пламени для общего случая спут­ного факела (т — f — 0). Уравнение (2-26) решается графически, и определяется функция L (|ф, уф) для заданных значений парамет-

Ров задачи со,, со,,, т, р где

= 2 ■ сс"° j. Длина спутного

(2-33)

Факела находится из очевидного условия постоянства функции ^ (£ф. Уф) на поверхности фронта пламени [L (£ф, Уф) = L (llt 0)].

В случае длинных факелов > l) можно воспользоваться разложением экспоненциальной функции и функции Гаусса и по­лучить более простые зависимости, чем (2-33) и (2-34).

В конечном счете = (Р, т, w,, о,,), т. е. зависит от четы— рех параметров. Тем самым решение задачи доведено до конца.

Приведем некоторые результаты расчета, иллюстрирующие по­лученное решение для различных значений параметров.

На рис. 2-5 показана серия кривых зависимости приведенной

Длины факела = f(m, j3), рассчитанных для заданных значе­ний параметров со,, со,,. Из графика видно, что при фиксированном
значении параметра т увеличение значения |3 (т. е. увеличение на­чальной концентрации топлива, стехиометрического числа или уменьшение концентрации окислителя в окружающей среде) при­водит к возрастанию расчетной длины факела При увеличе­нии параметра т, как известно, уменьшается интенсивность тур­булентного обмена. Следовательно, при росте параметра т ширина струи уменьшается [Л. 22]. Физическая причина этого состоит в том, что с увеличением скорости спутного потока (более точно —

Р и2

При стремлении к единице отношения т а = ■со——————— см. § 4-2)

Ухудшаются условия смешения реагентов, вследствие чего длина факела возрастает. Однако для количественной оценки влияния скорости спутного потока (параметра т) на длину факела необ­ходимо наличие эмпирической зависимости £=/ = (*, т). Эта зависимость для факела должна заимствоваться из опыта, как и при расчете турбулентных струй, путем сопоставления эксперимен­тальной кривой изменения избыточного импульса на оси факела с теоретическим решением.