Для расчета турбулентного диффузионного факела могут в прин­ципе применяться любые расчетные методы, развитые в теории турбулентных струй [Л. 1; 22]. Все они основаны на так называе­мых полуэмпирических теориях турбулентности [Л. 94 и др. ]. Поэтому от аналитически замкнутого расчета ламинарных струй и факела (см. § 1-2) их отличает необходимость введения некоторой эмпирической информации, заимствованной из эксперимента. В простейших случаях автомодельных течений речь идет об одной — двух опытных константах, в сложных случаях объем сведений, не­обходимых для создания замкнутой системы расчета и возможно­сти сопоставления с опытом, неизбежно возрастает.

Для автомодельных струйных течений несжимаемой жидкости с примерно равным успехом используются расчеты по теории сво­бодного асимптотического пограничного слоя или слоя конечной толщины, а также методы расчета, основанные на интегральных соотношениях. Широко распространен расчет струй и факела, развитый Г. Н. Абрамовичем [Л. 1 ], на основе априорно принятого профиля скорости и др. Большинство из этих методов расчета не­применимы прямо к неавтомодельным течениям. Достаточной яс­ности нет также и в вопросе об обобщении известных формул Л. Прандтля для турбулентного трения (теория пути смешения) на движение сжимаемого газа.

Для расчета газового факела большое значение имеет возмож­ность учета непрерывной деформации профилей скорости, темпера­туры и концентрации, а также переменного поля плотности. Этому требованию в известной мере удовлетворяет расчет газовых струй и факела по методу эквивалентной задачи теории теплопроводности. Поскольку в дальнейшем изложении преимущественно исполь­зуется этот метод, целесообразно кратко напомнить его особенно­сти. Читатель, знакомый с ним, может пропустить последующее изложение, взяв из данного параграфа только справочные сведе­ния (обозначения, применение таблиц и т. п.).

Метод эквивалентной задачи представляет собой, по-видимому, наибо­лее четкую и наименее обременительную в отношении физических и матема­тических допущений форму использования для расчетных целей давно об­ратившей на себя внимание схожести кривых распределения скорости (им­пульса) в поле течения турбулентных струй и температуры в задачах нестационарной теплопроводности. Сравним, например, распространение круг­лой струи с охлаждением нагретого относительно остального тела цилиндри­ческого слоя. Пусть в обоих случаях начальное распределение будет одно­родным и граничные условия будут подобными. По длине струи будет про­исходить постепенное выравнивание импульса, профиль его, постепенно деформируясь, будет все более размываться, т. е. охватывать все более ши­рокую область при непрерывно падающем уровне на оси. На некотором уда­лении от устья поперечные распределения будут хорошо аппроксимироваться формулой вида и ~ ехр (— у^/а^2). Аналогичное будет наблюдаться и при охлаждении цилиндрического слоя, причем роль координаты к перейдет ко времени (поперечные координаты будут качественно тождественны). Через некоторое время, как показывает аналитическое решение, температурные кривые будут подчиняться той же формуле Т ~ ехр (— #2/а2*)> где а2, как и ранее ах,— постоянная.

Из этой, на первый взгляд, внешней аналогии между процессами рас­сеяния импульса в турбулентных струях и теплопроводности (или диффузии) следует в принципе возможность, при соответствующих условиях, совмеще­ния относительных кривых распределения, т. е. в конечном счете использо­вания результатов решения одной задачи (теплопроводности) для расчета закономерностей, присущих другой (распространению турбулентных струй). Основным здесь является то, что решение этих разных в сущности физиче­ских задач (относящихся, однако, к одному типу процесса — выравниванию начальной неравномерности путем переноса тех или иных субстанций) со­пряжено с преодолением качественно различных математических трудностей. В то время как задача о струе относится к числу нелинейных (к тому же вы­ражения для турбулентного трения в уравнениях свободного пограничного слоя в общем случае неизвестны), задача об охлаждении линейна и методы ее решения хорошо разработаны.

Отвлекаясь от различных попыток использования указанного сходства задач и сведения более сложной задачи к более простой, покажем, как реа­лизуется это сходство в методе эквивалентной задачи.

Предположим, что для задач теории турбулентных струй и факела в принципе можно указать такие формулы преобразования независимых пе­ременных, т. е. координат, которые позволили бы описать рассеяние импульса (также избыточной энтальпии и др.) в эффективном пространстве |—г) про­стейшим уравнением типа теплопроводности и его решениями. Эти преобра­зования | =’ § (дс, у) и г) = г) (х, у) в каждом конкретном случае имеют опре­деленный вид, который должен быть установлен из опыта.

Прежде чем проиллюстрировать эти соображения примером расчета струи (и факела — в § 3-3), введем одно важное ограничение.

Для многих задач — и только к таким будет применяться метод экви­валентной задачи в этой книге,— как показывает опыт, с практической точ­ностью достаточно применения простейшего вида преобразования коорди­нат, а именно — замены § = £ (дс) и г) и у. Иначе говоря, условной дефор­мации («растяжению» и «сжатию» ) для многих задач следует подвергать только продольную координату, оставляя поперечную инвариантной. В этом случае из опыта берется только уравнение связи | (х), зачастую в виде = «= Сх3, и оно представляет собой ту эмпирическую информацию, которая упоминалась в начале параграфа.

Таким образом, говоря далее о методе эквивалентной задачи, будем иметь в виду всегда только этот простейший и экспериментально проверенный ча­стный случай (т) и у). Конечно, он далеко не универсален и неприменим, в частности, к течениям типа полуограниченных струй или рассмотренным в четвертой главе кольцевым струям и факелу. Следует также заметить, что метод ограничен также в отношении формы начального профиля скорости, температуры и концентрации требованием сравнительной гладкости началь­ного распределения и его однотипности (т. е. возможности отнесения к за­топленной струе или к спутным течениям, но не к обоим сразу). Содержание этого замечания станет яснее из последующего изложения (см. главу чет­вертую).

Допустим, что путем простого, заимствованного из опыта преобразова­ния | = § (дс) и г) и у исходная система уравнений (переноса импульса, тепла и вещества в турбулентном свободном пограничном слое сжимаемого газа) заменяется системой линейных однородных уравнений типа уравнения теплопроводности в его канонической форме.

Эти уравнения вида

DF{ _ 1 d I k dFt ~ Ук ду [У ду

Относятся к трем величинам (переносимым субстанциям) — плотности по­тока избыточного импульса Fu — ри (и — и^), избыточной энтальпии F = = р иср (Т — TJ) и вещества Fg — р и (с — сте), входящим в условия со­хранения. В соответствии с этим эффективные координаты (х) имеют в об­щем случае разные значения: и — для переноса импульса, тепла и вещества. Практически из опыта по изменению рыДы по оси струи заимст­вуется только зависимость |и = §„(*)• Две другие приведенные координаты |q и как показывает опыт, в подавляющем большинстве случаев струйных течений можно принять равными |u = const и = gg. Значение постоян­ной а, равной отношению а = J%,q, сравнительно мало меняется (а « 0,7 0,85). Ориентировочно для струй можно принять а « 0,75.

Для упрощения обозначений в дальнейшем везде индекс и отброшен, т. е. обозначено F = Fu, % = а также | = а|? =

Уравнения (1-26) подлежат интегрированию взамен системы уравнений свободного турбулентного пограничного слоя сжимаемого газа, которые могут быть сведены к виду (1-26) при соответствующем выборе выражений для турбулентных напряжения трения и потоков тепла и вещества [JL 22].

Заметим, что уравнения (1-26), в частности первое Из них —динамиче­ское, не содержат поперечного компонента скорости v. Для его приближен­ного определения следует использовать, как и обычно, уравнение неразрыв­ности

Д, в (1-26)

P„ = __L. Af^V

Uk дх дх

Преимущество метода эквивалентной задачи состоит, во-первых, в при­менимости его не только к автомодельным (при одной эмпирической константе С в формуле j/Ј~ = Сх), но и к неавтомодельным струйным течениям и, во — вторых, в применимости его к течениям сжимаемого газа, т. е. к тем практи­чески важным случаям, когда выражения для тт, qT, gT неизвестны. Эти обстоятельства делают метод удобным для приближенного расчета фа­кела. Вместе с тем использование его для расчета факела имеет свою спе^ цифику.

Как указывалось, зависимости (х) при расчете газовых струй заимст­вуются раздельно из опыта путем сравнения теоретических и эксперимен­
тальных кривых изменения ри (и — uj) и ри (Т— TJ) по оси струи.[6] Та­кое сравнение дает две формулы связи приведенных координат с реальными:

І = I (ж) и q = і, (х).

В факеле измеряются величины рн2 и температура. По ним рассчиты­вается и сопоставляется с решением одиа только зависимость — изменение ри (и — «„) по оси. Это дает одну координату £ = їи(х). Вторую координату (£? = £й или константу а в выражении £ я ot, q) следовало бы определить из сопоставления эксперимента (температурное поле факела) с расчетом для разных значений о. Однако такой путь сравнительно несложен только для автомодельных решений. Расчет иеавтомодельных течений в полном объеме (при а ф 1) весьма сложен. Поэтому в качестве известного приближения мо­жет служить расчет, выполненный для случая а — 1.

По-видимому, метод может успешно применяться и к трехмерным те­чениям (струя и факел, истекающие из прямоугольного насадка) и для ори­ентировочного расчета течений при наличии градяента давления — закрытых факелов и слабозакручениых струй (при этом Fu = риг + р). Последнее требует, однако, специального исследования.

Для струйных течений эффективность сведения уравнений свободного турбулентного пограничного слоя сжимаемого газа к уравнениям типа теп­лопроводности подтверждена сравнительно обширным экспериментальным материалом [Л. 7; 8; 22; 23; 63].

С математической стороны линеаризация уравнений существенно упро­щает решение задачи и позволяет во многих случаях довести расчет до ко­нечного вида. Действительно, методы интегрирования однородного уравне­ния теплопроводности подробно разработаны в математической физике [Л. 85]. При этом решение осесимметричиых задач теории теплопроводности для безграничных областей выражается обычно в виде так называемых Р-функций:

Уо

Р (Є, „> = J — ехр (- jjj.) j ехр (- У0 (Ж) р,1.27а)

О

Где р — переменный радиус в плоскости £ = 0 и J о — функция Бесселя первого рода нулевого порядка.

В предельных случаях Р-функция сводится к виду

‘ же. =

И

Р(£, у) = -1-ехр(—при 5 > 1.

2Е 45/

Аналогично этому решение плоских задач для безграничной области выражается через интегралы Гаусса:

Ф (6, у) = erf_ erf, — (1-276)

2КЄ 2 У {

При є « 1

2 z

Где erf (?) = —— Г ехр (— t2) dt — интеграл Гаусса. , У’к о

Функции Р (I, у) и erf (2), так же как и бесселевы функции, затабули — рованы [Л. 102; 11], что существенно упрощает решение. Для удобства рас­чета таблицы этих функций в необходимом интервале значений аргументов приведены в приложении.[7]

При подобных граничных условиях решения осесимметричной и плоской задач теории теплопроводности [уравнения (1-26) для безграничных обла­стей ] могут быть представлены единообразно в виде частных интегралов — функций Р у) или Ф у) соответственно. Удобно поэтому ввести единое для них обозначение — функцию L (g, у), сократив тем самым изложение общей для обеих задач части решения.

Покажем это на примере решения задачи о распространении турбулент­ной неизотермической газовой струи в спутном однородном потоке. Как будет видно из дальнейшего, решения аналогичных задач теории факела во мно­гом схожи с приводимым примером, который может поэтому служить своего рода кратким введением к бо­лее сложным задачам.

Схема течения и основные обо­значения указаны на рис. 1-8. Пред­полагается, что струя газа (со ско­ростью но, температурой То и плот­ностью ро) истекает из круглого или плоского сопла размером уо (t/o — радиус или полуширина выходного сечения сопла) в неограниченный однородный спутный поток, движу­щийся параллельно струе (со ско­ростью н^, температурой Т^ и плот­ностью газа р^).

Решение методом эквивалентной задачя теории теплопроводности сво­дится к интегрированию уравнений (1-26) для переноса импульса и тепла, т. е. для функций

Рис. 1-8. Схема газовой струи в

Распространения спутном потоке.

Р«Мг-г-) WPo(To-T~)’

. . , . . …, Т

Fq =

Fu ———————- — и

Ри (н —

При следующих граничных условиях (в координатах £ = У = У/Уо)’

F„=l, Fq= Fu = 0, = 0 = 0

При 0 < у < 1, При 1 < у < оо При у = 0, при у = оо.

При fy > 0

DFu _ dFq

(1-28)

При & > 0

Fu =

F<i = 0

Решение уравнений (1-26) можно представить в виде

Fu = Аи + BUL (£„, у), Fq = А„ + BqL (f?, у),

Где L і/) = Я. (І, і/) — для осесимметричиой (k = 1) и Z, у) = Ф у) — для плоской (ft = 0) задачи.

Из граничных условий (1-28) следует Л; = 0, В,- = 1, так что решение для обеих задач записывается так:

Ft = Hb. y) (1-29)

Или в расшифрованном виде

Ро"о("о-°») Ро"осРо(Го-Г») И /

Где обозначено | = Јu =

Таким образом, распределение величин риАи и рисрАТ в пространстве £, у найдено. Для расчета первичных характеристик течения — скорости, температуры и плотности — приходится пренебречь различием между осред — ненным в смысле Рейнольдса значением произведения двух (или более) величин н произведением их средних (в том_же смысле) значений. Иначе говоря, следует положить, например, ри — р-н; ри2 = р-и2 и т. д.

В этом предположении [8] уравнения (1-30) позволяют выполнить неслож­ный алгебраический пересчет и найти в конечном итоге распределение всех переменных в пространстве, занятом струей. Не приводя деталей, укажем на ход расчета, а затем приведем конечные выражения.

Введем обозначения m = и^/ид и ш = р„/р0 = TQ/Tж. Примем для простоты ср « const. С учетом этого уравнения (1-30) перепишем в виде

JfL/JL-^O-^ME. у), (р")о V"»

Р" -»JL = (i_e)i(_i_t!,

(р")о "»

Эти выражения (с учетом равенства р/ро = TulT) представляют собой два уравнения с двумя неизвестными u/ua и ри/(ри)о. Решая их совместно, приходим к квадратному уравнению относительно величины «/«о:

, 1 , / є « + —— Ч —

— + —— — mL (— , у

И "о

L (5, у) = 0.

Решение этого уравнения дает распределение скорости течения и, сле­довательно, всех остальных переменных во всем поле струи. Конечные вы­ражения для краткости сведем в таблицы: табл. 1-1 относится к частному случаю затопленной струи (и= 0, m = 0); табл. 1-2 — к общему случаю спутной струи.

Таблица 1-1

Выражение

Г

*■> У)

V

1 +

= /і(І ± /а)

2ш lL ‘ У

<чЛ (- 1 + Л)

[•»Л(-1 +/»)J~ ‘ L — І-, у

Таблица 1-2

Выражение

2 2а

^ 1-р. г/1 ±

=/

Н-‘):

1 — ш 2ш

+ -—-м?. г/) =/»±/«

•(Л ±/«)-/.. = . г/|

Ll-~, у)[<о (/3 ± /4) —Л]

В формулах табл. 1-1 и 1-2 выражения вспомогательных функций Д—/4 видны из первых формул; знак плюс перед корнем (или функцией /4) отве­чает значению a) > 1 и знак минус — значению w < 1. Напомним, что для осесимметричной задачи L у) н Р (£, у) и для оси струи (при у = 0)

—і

/>(6, 0) = 1-е*р (1-31)

Аналогично этому для плоской струи

1

(1-32)

2V(

L (5, 0) е Ф (Є, 0) = 2 erf

Выражения, сведенные в табл. 1-1 и 1-2, определяют распределение всех переменных в приведенном пространстве. Установив из опыта связь координат £ = £ (х), а также a = g/Ј?, нетрудно перейти к распределению переменных в пространстве х, у. Тем самым расчет доводится до конца (под­робнее см. [Л. 22]). Полученные формулы будут использованы в примере расчета в § 3-3.