Принято различать две формы прямоструйного факела — затоп­ленный факел и спутный. В первом случае речь идет об истечении, струи топлива в пространство, заполненное неподвижным окисли­телем (например, воздухом), во втором — об истечении струи топ­лива в движущийся параллельно спутный поток окислителя. Вто­рой случай, очевидно, является общим и содержит в себе в качестве

Частного, при равенстве нулю скорости спутного потока, за­дачу о затопленном факеле. Поэтому для общности, говоря о диффузионном факеле, бу­дем иметь в виду спутный фа­кел, схематически представляя его следующим образом.

Допустим, что струя горю­чего газа (топлива) вытекает из круглой или плоской го­релки в спутный поток оки­слителя. Распределения ско­рости в выходном сечении сопла и спутаем потоке, так же как начальное (при х = 0) распределение температуры и концентрации топлива и окислителя, будем считать заданными. Для простоты примем их, как показано на рис.-2-1, равномерными.

При истечении газа из профилированного сопла строго по на­правлению оси х, при параллельности спутного потока и струи давление во всем пространстве, занятом факелом, можно считать постоянным. Если вблизи устья горелки установлено стабилизи­рующее устройство (например, тонкий кольцевой стабилизатор, размерами которого и влиянием на течение можно пренебречь), то в турбулентном пограничном слое — области смешения, образо­ванной параллельными потоками топлива и окислителя,— уста­новится устойчивый стационарный фронт пламени. Фронт этот на­чнется вблизи кромок сопла (точнее — у стабилизатора). Вначале он несколько расширится, а затем на сравнительно большом рас­стоянии (порядка десятков и более калибров) сузится и, наконец, сомкнётся на оси факела.

В предположении о бесконечно большой скорости химической реакции горения, общем для этой части книги, фронт пламени можно представить в виде поверхности, в основной своей части близкой к цилиндрической, разграничивающей факел на две области. Одна из них — внутренняя зона I (см. рис. 2-1) — заполнена топливом и продуктами сгорания, вторая — внешняя зона II — окислите­лем и продуктами сгорания. К поверхности фронта изнутри диф­
фундирует топливо, извне — окислитель. От фронта пламени в обе стороны — во внутреннюю и наружную зоны факела — диффунди­руют продукты сгорания. На самом фронте концентрация каждого из реагентов равна нулю, а концентрация продуктов сгорания мак­симальна. При этом притекающие к фронту и сгорающие на нем диффузионные потоки реагирующих газов — топлива и окисли­теля — находятся в стехиометрическом соотношении.

С качественной стороны распределение температуры (максимум на фронте) и концентраций реагентов вблизи фронта пламени, а также распределение скорости в турбулентном факеле аналогичны распределению этих величин при ламинарном диффузионном го­рении (см. § 1-2). Поэтому рассмотренная картина диффузионного факела относится как к турбулентному, так и к ламинарному фа­келу конечного размера (спутному в общем случае или затоплен­ному — в частном).

Строгий количественный расчет диффузионного факела конеч­ного размера крайне сложен. Однако именно эта (неавтомодельная) задача представляет наибольший практический интерес; ей же свойственны наибольшие трудности вычислительного характера.

Математическая постановка рассматриваемой задачи в общем случае сводится к следующему. Совместному интегрированию под­лежит система нелинейных дифференциальных уравнений в част­ных производных для стационарного осесимметричного (k = 1) или плоского (k = 0) турбулентного или ламинарного погранич­ного слоя сжимаемого газа.

Для турбулентного слоя выражения т = хт, q = qr и g = gT (для турбулентных касательного напряжения трения и потоков тепла и вещества), стоящие справа в написанных ниже уравнениях переноса, должны быть раскрыты с помощью одной из полуэмпи­рических моделей. Как правило, все они включают в себя произ­водные (скорости, температуры и др.) по координате у, так что уравнения будут второго порядка по у и. первого — по х. Для ла-

Т ду q дТ g

Минарного слоя, когда —=>—. — =—^— и = v Р ду ?сР ду Р

Дс

= — D—- — по законам Ньютона, Фурье и Фика, этот порядок ду

Дифференциальных уравнений очевиден.

К системе уравнений, о которых идет речь, относятся следующие:

(2-1)

Объединяя первое из этих уравнений со вторым (уравнением неразрывности), его часто переписывают в виде

Д? и (u Uqq) dy"pv (и — и^) _ д (укт)

Дх Ук ‘ ду ~~ ук ‘ ду

Для спутного течения (и^ — скорость в невозмущенном спутном потоке) или при их = О

Аналогично этому уравнениям энергии и диффузии придают вид уравнения сохранения:

1 D(yk 9vcp^j) _ J_

Ду

1 д (ук pvb. cs)

+

Ду г

Отсчитывая температуру и концентрацию от некоторого постоян­ного значения (например, на фронте пламени или в невозмущенном спутном потоке).

Возвращаясь к системе уравнений (2-1), замечаем, что третье уравнение в ней (уравнение состояния идеального газа) написано в простейшем для расчета предположении, что молекулярные веса газов (топлива, окислителя и продуктов сгорания) близки между собой, так что влияние их на плотность смеси газов не учитывается.

Индекс / в уравнении энергии может иметь два значения: I и // — соответственно двум зонам факела —внутренней и внеш­ней. Наконец, индекс s в уравнении диффузии, как и ранее, может иметь три значения: s = а, б, в — соответственно топливу, окислителю и продуктам сгорания (принципиально в каждой из зон / и //; в действительности в зоне I будет s = а, в, а в зоне II, в свою очередь, S = б, в).

Выпишем теперь граничные условия для системы уравнений (2-1):

О < У < Уо, и=и0, Т — Т0, са = сао, св = О, у0<У< + со> и = иоо, 7 = Г.,

С л = сл , , с = 0;

Б О, +0О ‘ 8 ‘

А) 0<У<Уф~в зоне I

Ди __ дТ ___ дса

Ду ду ду т = Тф, са = 0, св = Сдф при у = I/ф;

Б) — в зоне II

Т = Тф, сб = 0, се = свф при у = уф, и = и«. Т = Т„, св = се>„;

В) се = 0 при У — оо.

Кроме того, на поверхности фронта пламени, т. е. при і/ф = = у (л:ф), соблюдается сформулированное ранее стехиометриче — ское условие для притекающих к фронту потоков реагентов:

Поскольку уравнения пограничного слоя относятся к парабо­лическим дифференциальным уравнениям (в которых пространст­венная координата х играет роль как бы «времени» в уравнении типа теплопроводности), задача в целом в связи с условием на фронте относится к классу краевых задач с «движущейся границей» Уі> = У (хф)• Классический пример задач такого рода — известная задача Стефана о движении фронта плавления и т. п. [Л. 85].

В расчете диффузионного факела уравнение границы і/ф (дгф), как правило, заранее неизвестно и должно быть найдено в ходе решения с помощью соотношения (1-7) или из другого дополни­тельного условия. Это обстоятельство порождает дополнительную нелинейность задачи, связанную с наличием «движущейся границы». В таком виде решение может быть в принципе получено численно на ЭВМ для конкретных значений параметров. Для турбулентного факела (как и при расчете турбулентных газовых струй) задача усложняется необходимостью ■ задания неизвестных в общем виде выражений для величин хт, qT и gT. В этом случае целесооб­разно выполнить расчет по методу эквивалентной задачи теории теплопроводности (см. § 1-4), при котором уравнения (2-1) заме­няются линейными:

В уравнениях (2-3) черта сверху означает переход к безразмер­ным (относительным) величинам. Индекс і при координате h и функции Ft соответствует и, q и g, причем, как отмечалось в § 1-4, У ІиИ Fи индекс и в дальнейшем будет отброшен (£ F = Fu). Безразмерные величины Ft примем в виде: для всей области течения

Ри (ц — ы^)

Роио("о-ц~) ‘

Для внутренней / (для топлива) и внешней II (для продуктов сгорания) зон факела

Р = Риср (Т — 7ф) И Ч! Ft«h-o (то — Тф)

PUCq

Р __ рта &а роиосао ‘

Кроме того, обозначим: g. =|;/iи у = і/Л/0 — безразмерные координаты, если у0 — характерный размер (радиус или полуши­рина) выходного сечения сопла горелки. Разумеется, что выбор масштабов для безразмерных функций Ft и начала отсчета для них произволен; принятый выше удобен тем, что сокращает преобра­зования в ходе решения. Для упрощения записи в дальнейшем черта над безразмерными величинами, а также индексы q и g у F,, Fga и т. д. будут отброшены. Это не может привести к недора­зумениям, поскольку эти величины относятся в расчете к разным зонам факела. Последнее видно из граничных условий к системе (2-3), записанных в виде:

О <У<У0, F, = l, Fa = l,

Уо<У<+°°’ 0. Fu = 0, Fe = о.

А) 0 у < уф — в зоне / dF_ = .dFi _ д£а_ ду ду ду Fi = ]> ^ =0 при у= уф

Б) Уф < У < оо — в зоне /I ^П = l> F,= l При У = Уф> F — 0, Fп — 0, Fe — 0 при у — со.

Кроме того, для границы, которая разделяет зоны и на которой Уф = Уф(Хф), сохраняется условие (1-7), необходимое для отыска­ния уравнения фронта пламени.

В таком виде краевая задача распадается на две. Независимо от других уравнений интегрируется уравнение для функции F, определяющее непрерывное во всей области течения (для самой функции и ее производных по координатам) распределение избыточ­ной плотности потока импульса риЛи. Это отделение динамической задачи весьма важно, так как делает возможным самостоятельное сопоставление решения с экспериментальным полем ри2 и опреде­ление (по падению ри2 на оси факела) связи приведенной коорди­наты £ = £ (*) с реальной координатой х.

В отличие от этого, уравнения переноса энергии и вещества должны интегрироваться для определения функций Fq и Fg раз­дельно по зонам факела. Хотя сами функции (или, более точно, отвечающие им физические переменные: температура и др.) непре­рывны, производные их терпят разрыв на фронте. В зоне I при выбранной схеме решения должны интегрироваться уравнения для функций Fl и Fa, в зоне II — для Z7,, и Fe. Этого достаточно для определения концентраций всех газов (а, б и в) во всем поле, поскольку в зоне /, очевидно, с6 = 0, а в зоне II, соответственно, С„ = 0.

Несмотря на линеаризацию уравнений при переходе от системы (2-1) к системе (2-3), задача остается все же нелинейной из-за на­личия в ней «движущейся границы» — поверхности фронта пла­мени. Дополнительная трудность связана еще и с тем, что условие (1-7) формулируется не относительно одной из функций Fq или Fg, а относительно концентрации cs. Это приводит к взаимосвязи всех трех уравнений для функций Ft. Результаты совместного решения их следует использовать для перехода от распределения сложных величин ри (и — «J, ри (Т — и т. д. к распределению первич­ных — температуры, скорости и концентрации. И лишь после этого можно удовлетворить условию (1-7) и тем самым отыскать место­положение фронта пламени и замкнуть задачу в целом.

Аналитическое решение такой задачи не содержит принципи­альных трудностей в том случае, когда приведенные координаты^ совпадают, значение и переход к физической плоскости те­

Чения для всех функций F{ одинаков. При этом фронт пламени, на котором Т = Тф = const и саф = сйф = 0, будет не только изотермической поверхностью, но и, с учетом равенства рТ = const, поверхностью постоянного значения скорости, плотности тока, динамического давления и вообще любой функции Ft. То же са­мое относится к каждой «изоповерхности» в эффективном (g, у) или реальном (х, у) пространстве. В физическом плане это сводит задачу к идеализированной, отвечающей расчету при равенстве единице своего рода турбулентного числа Прандтля. Как будет показано ниже, решение такой задачи отражает все важнейшие свойства реального факела. Это обстоятельство определяет целесо­образность использования такого приближенного (в физическом отношении) решения задачи о факеле конечного размера. При этом, естественно, игнорируется хорошо известное из экспери­ментальных данных по турбулентным газовым струям [Л. 22] и несомненно присущее факелу различие в интенсивности переноса импульса и тепла (неравенство а < 1, если £ = o%q).

Как будет показано в следующей главе при сопоставлении ре­зультатов расчета с экспериментом, решение в предположении а ж 1 правильно отражает главные закономерности диффузион­ного факела и может служить основой для приближенного коли­чественного расчета. Правда, во всех обработанных опытах (см. § 3-1) заметно систематическое отклонение опытных данных от рас­четных (для случая а = 1), которое является следствием того, что и в факеле при а < 1 перенос тепла происходит несколько быстрее переноса количества движения, профили температуры в поперечных сечениях факела, как и струй, несколько шире про­филей скорости, расчетная длина факела (при а=1) меньше экспериментальной. Остается открытой поэтому возможность в по­следующем численного решения краевой задачи во всей ее слож­ности, т. е. с учетом различия приведенных координат^.

Общий метод решения таких задач теории теплопроводно­сти изложен в руководствах по математической физике [Л. 85].

Получение его связано с большим объемом вычислений с помощью ЭВМ, в частности, из-за неизбежности применения в ходе решения последовательных приближений при отыскании координат фронта. Такой расчет, проведенный для конкретных значений параметров, хотя и потребовал бы для обобщения и сопоставления с опытом значительной вариации расчетных условий, позволил бы в прин­ципе выявить из эксперимента [9] наиболее отвечающее ему значе­ние а. Выполнение такого рода численных расчетов, вероятно, окажется целесообразным при дальнейшем накоплении и уточне­нии экспериментальных данных.

В последующем ограничимся изложением приближенного решения задачи для случая £=£?=£в, т. е. <т=1. Результаты этого решения (см. § 2-3) будут позднее (в § 3-1 и 3-2) сопостав­лены с экспериментом.

Целесообразно, однако, предварительно привести решение бо­лее простой (автомодельной) задачи о плоском турбулентном фронте пламени, расположенном в зоне смешения двух плоскопараллель­ных спутных потоков. Для этой задачи, аналогичной рассмотрен­ной в § 1-2 для ламинарного диффузионного факела, закон «движу­щейся границы» определяется сразу из соображений размерности:

Уф — (при J/ffc = Сх, очевидно, уф — хф, поверхность фронта дает В пересечении С ПЛОСКОСТЬЮ Х — у прямую уІХф = const). В этом случае линии постоянных значений функций Ft, температуры, скорости и концентрации совпадают с приведенными координатами

^ = у / y^r. — const. Поэтому решение автомодельной задачи (см. § 2-2) доводится до конца при произвольном значении а. Результаты решения позволяют оценить влияние выбора значения о на место­положение фронта пламени и структуру факела.