Рассмотрим диффузионное горение в области турбулентного смешения двух спутных плоскопараллельных потоков газа — топ­лива и окислителя. Схема факела аналогична изображенной на рис. 1-2 для ламинарного горения. Она отличается, однако, от ламинарной прямолинейностью фронта пламени. Это следует из приведенного ниже решения, но может быть, как об этом говори­лось в предыдущем параграфе, обосновано простейшими сообра­жениями размерности.

Действительно, для рассматриваемой (автомодельной) задачи о турбулентном фронте пламени в исходных уравнениях и гранич­ных условиях отсутствует величина размерности длины (размер сопла или отношение v/u0 — в ламинарном факеле). Поэтому лю-

Ри (и —

Бая безразмерная функция, например г =———————————— — , не

Может зависеть от координат хну (или £ и у) в отдельности, а будет определяться безразмерным аргументом вида у! х в физиче­ской яту/У^ в приведенной плоскости. В частности, на фронте пламени — поверхности постоянных значений температуры, ско­рости, функций Ft и т. п.— должно быть г/ф = const или Уф = const хф.

Аналогично этому в задаче Стефана [JI. 85] координата фронта плавления пропорциональна корню из времени (х ~ в методе эквивалентной задачи роль «времени» играет координата |). Это сопоставление поясняет аналогию между задачами теории факела и теплопроводности с «движущейся границей».

Заметим также, что рассматриваемая задача о плоском фронте пламени в техническом плане представляет собой схематизацию течения и горения в начальном участке осесимметричного или пло­ского факела конечного размера (в общем случае — спутного). Для обоих течений (k = 1 и k = 0) при относительно малой тол­щине области смешения задачу можно считать плоской. Решим ее методом эквивалентной задачи теории теплопроводности (см.

§ 1-4).

Выберем функции F; в следующем виде, удобном для расчета:

Для всей области течения

^ Р" ("-"-«)

Р + -И+,* К.-"—) для зоны / (формулы слева) и зоны II (справа) р рЦСр(Г-Гф) и р 9ucp(T-T_J)

А также

Р _ риса___________ р _ рисв

" Р+ оо" + ooCЈJ, + ОО 8 Рф"фСвф ‘

Индексы + со и — со относятся здесь соответственно к невоз­мущенным потокам топлива и окислителя, индекс «ф», как всегда,— к фронту пламени.

Исходная система уравнений для плоского течения (k = 0) имеет вид

(2-5)

DU di/» V

С граничными условиями:

У< О, F==Ft = Fa = 1, */>О, ґ = 0, ґп — 1, = 0;

‘ F = Л = Fa = = 0 при «/ = + С»,

При = 0

(2-6)

При > 0 р

F = FU = F а

О, і7,, = = 0, ^- = 0 при i/=-co, 0, = 1 при г/ = г/ф. К этим условиям следует добавить соотношение на фронте

І

О/г

/ф "" /ф

Заменим в равенстве (1-7) производную по нормали к фронту

4-COS (и, х) + -7- cos (л, дх ду ду

Дсб ду

(2-7)

Д_ дп

С учетом неравенств д/дх діду (известное свойство пограничного слоя) и cos (и, х) ^ 0, cos (и, у) » 1 производной по координате у. Поэтому взамен (1-7) примем приближенно (при DTa^DT6 — ра­венстве коэффициентов турбулентной диффузии компонентов)

__ <2 дса

Ф дУ

Решение уравнений (2-5) имеет вид

^ = + rf _ (2-8)

Где Л, и В, — постоянные интегрирования; = —приве­

Денная координата, разная для различных уравнений, причем

Lu=l = = — эмпирическая постоянная. В соответ­ствии с этим і|) = у! V І и ф9 = tyg = y = Ф

Постоянные интегрирования At и В{ легко находятся из гра­ничных условий. ,

В результате решения соотношения (2-8) могут быть представ­лены следующими выражениями:

(2-9)

F (ф) = —

Р+„

Ри (и —

= -^(1 +erf ф),

(И+.-И-.)

= Fa(W =

Тф) ? + +

Риср (Т — Тф)

Р иса

(2-10)

^ егГ(фуТ)-егКффУТ) I —erf (Фф уЪ)

= fe(t) =

РфЧфСдф

Рис,I (T — 7[10]Ф)

Рф" г.0Р(тф-т—)

1 + erf (ф /а ) 1 + erf (фф /7)

Из этих выражений первое (2-9) относится ко всей области те­чения, тогда как (2-10) и (2-11) относятся соответственно к зоне I и зоне II, в каждой из которых распределения плотностей потоков энтальпии и вещества подобны между собой.

Если теперь, как в § 1-4, пренебречь различием между средним (в смысле Рейнольдса) значением произведения и произведением средних, т. е. положить, например, ри^р-и, ри[11]^р-и2 и т. д., то выражения (2-9) — (2-11) с учетом равенства рТ — const, а также ср « const представят собой уравнения, из которых можно найти распределение всех первичных величин — плотности газа, скорости, температуры и концентраций. Следует отметить, что приближение рия&р-и и т. д. является общим для всех расчетов турбулентных струй и факела. По существу оно же принимается всегда при обработке опытных данных — при расчете профиля скорости и других величин — исходя из экспериментально опреде­ленных значений динамического давления ри2 и температуры Т = = const/p.

(О

С учетом этих замечаний из выражений (2-9) — (2-11) получим квадратное уравнение относительно распределения скорости в по­перечных сечениях факела: для зоны I

[i;J-[m + F{l-iol)]JL + m{l-ml)Fl-wlF(l~m) = 0; (2-12) ■

Для зоны II

FjLy_fmu) +ІІФ(т пр 1JL +

и0 I 11 и„ 11 I 11 «о

— ‘) ^п — 0 — т)<о^ — 0. (2-13)

Решения этих уравнений имеют вид: для зоны I

, (2-14)

ТГ (ш11 -1)/гП-ттП +4 (1-т)«1} Ш ир

И

, (2-15)

Т + (1 — ш, ) F, + ]/"[(! — со, ) F, — /я]* + 4 (1 — т) <о, F

И

Где

+ If т* + 2 (1 — ш) Ш, [1 + erf (фф)]

«п

Заметим, что здесь и далее перед корнем выбран знак плюс, так как во всех случаях горения параметры (о, и а>п больше еди­ницы. Знак минус соответствовал бы не рассматриваемому здесь случаю эндотермического процесса (например, конденсации и т. п.).

И ф _

Из распределения скорости в факеле без труда находятся все остальные переменные. Окончательные выражения для них све­дены для удобства в табл. 2-1, в которой (как и в приведенных выражениях для плотности газа) обозначено:

Тф Р+~ Тф Р-оо ‘ шп О) =—= _±_ и) =—=————- ш = _li т — . 1 Г+00 Рф " РФ «, " + м Таблица 2-1 Функция Зона Выражение И / /в+ ]/"/?+4 (1-m) «>,F 2 II /в + l^/g + 4 (1 —/л) «.|i»„F 2»„ Ри / — Л + K/I+ 4(1 — m) u>|F 2ш| (р.")+- 11 -/»+ + 4(1 — т) <»,<»,,/? 2<о, Тф—Т+00 С0. 1 (Р")оо 1 F, Ри Т-Т_. ^ Сб С6, — » II "ф „ (Р’Оо —— ‘и «0 Р"

Кроме того, в табл. 2-1 для краткости принято

/6 = т + (! ~wi)Fi> f7 = {l~Mi)Fi-m’

Л = "ф (шп -l) Fn+ mwu ‘ Л = "ф (щп -1) Fu ~ тти •

Выражения, приведенные в табл. 2-1, значительно упроща­ются в частном случае т = О, когда спутный поток отсутствует (и_м = 0). Эти выражения указаны в табл. 2-2.

Полученные выражения как в общем, так и в частном случае содержат неопределенную до сих пор величину — приведенную координату фронта пламени фф = уф/2 ]Аф. Для отыскания ее следует воспользоваться условием на фронте (2-7). Вычисляя с по­мощью выражений, представленных в табл. 2-І, производные от концентраций топлива и окислителя, получаем

Дса	Са, +по	Dca	1	‘ (Р") + оо	RiF,	+ F d
Ди	2 УТ	Гіф	21/?	Ри	Гіф	1 ‘ ^ •	Р"	»
Дев	С6 »	Dc6		" (Р")+оо	DFn	+ F — + " гіф	(ри) + «
Ду	2 УЇ	Гіф	2VT	Р и	Гіф	Ри

Имея в виду, что условие (2-7) должно удовлетворяться на фронте пламени (ри — рфиф и Г:ф = 0, f,, = 1), получаем

" + «, ехр ф|а)

~ W г ‘ " — __ J

Дса ду

‘■а. +•

]/+£ "Ф I —erf (фф Y" )

Дев ду

"Фш11еб. ___________________ ехр (- ф|з)

Ф УяЕІИф(<вп + 1)-т, вііи + -] 1 + erf (ффКо)

Подстановка этих выражений в (2-7) приводит к трансцендент ному уравнению относительно координаты фронта фф

(2-16) 2. Тем са­

І-erf (фф/Г)

(т + Mf _

Т + (">п + і)Л« 1+erf (ффІ^Г)

А,

Где М = + 2 (1 — m)(0, (1 + erf фф), a fc =

Б, — «

Мым задача доведена до конца.

В случае истечения топлива в неподвижное пространство (и^^ = = 0, т = 0) формула (2-16) несколько упрощается:

1+erf (ффіМ

Где

— Q |/2о

"-б, — оо Ш11

— Наконец, при т — 0 и а = 1 уравнение для определения ко­ординаты фронта а|)ф имеет совсем простой вид:

; "-■ — ; wf|t_,+tit=^Eia.

На рис. 2-2 показана зависимость фф ф) для нескользких зна­чений постоянной о и Параметра т.

Как видно из рис. 2-2, эта зависимость хорошо согласуется с ре­зультатами физического анализа явления. Действительно, во всех случаях (при заданных т и а) с ростом стехиометрического ком­плекса f>1 абсолютное значение координаты 1|>ф растет. При этом величина і|}ф < 0 (начиная с весьма малых значений комплекса). Это значит, что фронт пламени расположен в области окислителя (Уф/Хф < 0) и тем дальше от оси (у = 0), чем больше значение сте­хиометрического комплекса При постоянном значении и

А)

Любом заданном значении параметра т (например, при т — 0 или т = 0,5 на рис. 2-2, а) с ростом значения о фронт пламени смещается в сторону потока топлива, т. е. приближается к оси у = 0. Аналогично этому при заданных значениях Pi и а (например, а = 0,7 на рис. 2-2, б) увеличение т ведет к уменьшению фф, по­скольку ширина области смещения при сближении скорости обоих потоков уменьшается. Отметим также существенное отличие ре­зультатов расчета для т = 0 и т = 0,5.

На рис. 2-3 для примера построены профили относительных значений температуры и скорости в пограничном слое. Эти кривые иллюстрируют влияние параметра а на местоположение фронта пламени. Следует иметь в виду, что в физических координатах это влияние будет менее заметно, поскольку изменению координаты г|?ф пропорционально изменение arctg (Уф/хф).

Для иллюстрации в табличке приведены значения углов для т = 0,5 (по рис. 2-3) и т — 0 (в расчете принято со, = о)п = 6, 1, Q = 11, а также С — 0,025 для m = 0,5 и С = 0,04 для т — 0, где С = УТ/х эти значения при­мерно соответствуют горе­нию метана в воздухе).

Значения эмпирических постоянных С = С (т), а также а должны быть заим­ствованы из опыта. Если ориентироваться на данные по струям, то 0,7 ч-0,85. Из приведенных примеров можно заключить, что в реальных усло­виях (в физической плоскости течения) трудно обнаружить влия-

Рис. 2-3. Распределение скорости и температуры в плоском пограничном слое при горении неперемешанных газов.

Ние значения а на местоположение фронта пламени, так как точ­ность измерений в турбулентном факеле позволяет определить координаты фронта с точностью порядка нескольких градусов.