В качестве вводной теоретической задачи рассмотрим лами­нарное горение предварительно не перемешанных газов в свобод­ном пограничном слое, образованном при смешении двух плоско­параллельных потоков топлива и окислителя [Л. 43].

Как и в других случаях, результаты исследования ламинарного факела, опирающиеся на физически строгие уравнения, свободные от введения эмпирических данных, служат качественной моделью расчета турбулентного диффузионного факела. Более того, физи­
ческая схема явления, общая постановка задачи, граничные усло­вия, метод решения — все это в известных пределах одинаково для ламинарного и турбулентного факела. Поэтому для рассматри­ваемой ниже задачи выпишем подробно систему необходимых урав­нений, граничных условий и все основные преобразования. Наряду с этим оговорим принятые допущения с тем, чтобы в дальнейшем, как правило, не повторять этого.

Схема течения показана на рис. 1-2. Примем, что по обе сто­роны полубесконечной пластины движутся без трения однородные потоки реагирующих газов, приводящие в соприкосновение в точке О (начало координат на рис. 1-2, а). Начиная от этой точки

Образуется область смешения — свободный пограничный слой, «)

Рис. 1-2, Схема плоскопараллельного пограничного слоя при горении неперемешанных газов: а — плоскость физических ко­ординат х, у; б — плоскость переменных 5, ї)-

Внутри которого располагается диффузионный фронт пламени. Стабильность его обеспечивается поджиганием по линии х — О, у = 0. Скорости химических реакций горения будем считать беско­нечно большими и в соответствии с этим зону горения — поверх­ностью фронта пламени. Тем самым принимаем, что во всем объеме, занятом факелом, реакции горения отсутствуют. Реагирующие газы поступают с обеих сторон к фронту и мгновенно сгорают на нем.

В задачу расчета входит определение местоположения фронта пламени и распределения температуры, скорости течения и кон­центраций топлива и окислителя, а также продуктов сгорания в любом поперечном сечении факела. Примем также, что течение происходит в поле постоянного давления. Поэтому плотность’ газа будем считать величиной, обратно пропорциональной температуре (рТ = const), не учитывая различия молекулярных весов газов (реагентов и продуктов сгорания). Кроме того, температурную зависимость коэффициентов вязкости, теплопроводности и диффу­зии примем линейной ([і — X ~ pD — Т), а числа Прандтля и Шмидта — постоянными (Pr = via = const, Sc = v/D = const).

Пренебрежем также изменением молекулярного веса газов и теп­лоемкости при реакции. Такое допущение приближенно отвечает горению в присутствии достаточно большого количества инертного газа (азот в воздухе и др.). В принятой схеме пространство, занятое факелом, условно разбивается на две зоны, разделенные- фронтом пламени — поверхностью слабого разрыва для температуры и концентрации. На этой поверхности производные температуры и концентрации по координатам терпят разрыв, тогда как сами пе­ременные непрерывны.

В одной из зон (/), расположенных по обе стороны фронта, на­ходятся газы — топливо и продукты сгорания, во второй (//) — окислитель и продукты сгорания. На схеме факела (рис. 1-2) зона I расположена выше фронта пламени, а зона II — ниже.

Систему уравнений стационарного ламинарного пограничного слоя сжимаемого газа запишем в следующем виде: уравнение движения ди

. ди д І ди л i

Р" *

<М)

Уравнение неразрывности

^ + ^=0, (1-2) дх ду

Где и и v — компоненты вектора скорости.

Эти два уравнения являются общими для всей области течения, поскольку на фронте пламени отсутствуют источники или стоки импульса и массы. Уравнение энергии

ДТ. дТ д /, дТ ,, „,

РЫСр — + РУСр-==-(Х-), (1-3)

Где ср — теплоемкость. В этом уравнении опущены члены, учиты­вающие лучистый теплообмен, диффузионную теплопроводность и теплоту трения.

Уравнение диффузии для s-ro компонента смеси (s = а, б, в, причем эти индексы здесь и в дальнейшем относятся соответственно к топливу, окислителю и продуктам сгорания)

В этом уравнении не учтена термодиффузия. Уравнение состояния идеального газа (для случая р = const и ~ йб ~ Iі.)

РТ = const. (1-5)

Уравнения, учитывающие зависимость коэффициентов переноса от температуры:

Уравнения энергии и диффузий — следует интегрировать раз­дельно для каждой из двух зон І ичМ. і расположенных по разные стороны фронта пламени. В одной из них, как отмечалось, проис­ходит встречная диффузия топлива:« йрбдуктов сгорания, во вто­рой — окислителя и продуктов сгорания.

Граничные условия, при которых следует интегрировать си­стему уравнений (1-1) — (1-6), имеют вид: для левой полуплоскости (х <; 0)

Ы=ы+00, Т = т+са = са>+„ при#>0, ,

" = "_оо. T = при г/<0;

Для правой полуплоскости (х > 0)

" = "+-. T = T+mt са = са+„ при у = + со,

Са б = 0 при у = Уф (х).

И = , Т = , сб = сб при у = — оо;

На фронте пламени Т = 7

Индекс «ф» указывает, что значение данной величины относится к фронту пламени.

Эта система вместе с граничными условиями может быть проин­тегрирована, т. е. может быть найдено распределение профилей скорости, температуры и концентрации во всем поле факела. При этом, однако, в полученные выражения будут входить в качестве неизвестных координаты фронта пламени г/ф и хф, связанные ме­жду собой уравнением фронта г/ф = у (лгф).

Для того чтобы довести задачу до конца, т. е. определить ме­стоположение фронта пламени, запишем дополнительное условие, связывающее диффузионные потоки топлива и окислителя на фронте пламени:

= S, ;(1-7)

Где О — стехиометрический коэффициент (отношение масс компо­нентов при реакции); д/дп — производные по нормали к поверх­ности фронта пламени. Прямое решение задачи требует совмест­ного интегрирования всех уравнений, .Эффективным приемов ре­шения является переход к переменным, допускающим отделение динамической задачи от тепловой и диффузионной. С этой целью введем преобразование А. А. Дородницына -.[Л. 38] для случая р = const в виде

У

Г= [3]7J =f f

‘ av » б

Выпишем формулы замены переменных:

JL = 3

Дх

Д _ & д дт д

Д

Р— •

Ду ду д£ ду дт ду

2v

І=х, у} = Jpdt/, о

А, Дх

Pv + и

Для сокращения записи введем безразмерные переменные и; параметры:

2 и

И =

, — +

™ Т — Т.

AT.=—————— і

1.11 у ____ у

" + 00 +

С =

Ф

M

— ди, — ди и — + дЦ дт{

И, L

Ї-f/ Re

І-

(L — произвольный масштаб длины). Поскольку в условия задачи! величина размерности длины не входит (задача автомодельна),, масштаб L в последующем сокращается.

В новых переменных система уравнений (1-1) — (1-4) может быть записана так:

Д дг) _ д дг] д Дх д£ дх дгі д; дх ду ‘

Д*й o>f ‘

Дм

— J_ Д’АГ ~ Рг _L. ^ Sc ‘ d^ ‘

— дТ И —— Ае И -=-

Л,

(1-8Х

01,

+ о

Эта система по форме совпадает с системой уравнений ламинар­ного пограничного слоя несжимаемой жидкости. Граничные условия! в новых переменных имеют вид: для левой полуплоскости (С 0)

И = j-p—, v = 0, Дf, = 0, са = 1 при ~t > 0, ы = 2/" , у = 0, Д7 =0, с, = 1 при у < 0;

I 4- m

Для правой полуплоскости (| > 0)

И = —~—, ДГ, = 0, са = 1 при у] = — Ксо,

1 + «

U =

— 2/л

, &тґ1= 0, 1 .при У) — оо;

1 + m

На фронте пламени

Л^ьп = !> = ° ПРИ 4 = V

Поскольку задача в плоскости переменных г), 1 автомодельна, т. е. допускает переход от уравнений в частных производных к обы­кновенным дифференциальным уравнениям, осуществим так назы­ваемое преобразование автомодельности. Для этого введем новые переменные:

Ы = F (ф), AT = е (ф), с = «(ф), ф =

(у — константа автомодельности, F’, 9, я — универсальные функ­ции координаты г|з). Из формул замены переменных:

= і.- і і. JL — it JL— FT_Ё_ dl ~ дї ‘ df ~ t Г ‘ ді/ ‘ ОІ^ ~~ dV d|< ~~ ді/ ‘

J^ /г-т 5 <3rja дт)

<?Ф / дт) ‘ аф® Df

Найдем

И =

О

ДМ ф Rw/,4 5с ф

От) от]

^-w,». «-Р.-»,

(штрих — дифференцирование по ф).

(1-9)

После подстановки этих выражений в систему уравнений (1-8) приходим к следующим уравнениям:

/■’"(ф)^+1- (ф) F (ф) = О, в"(ф)’Г[+,-тРгв'(ф)^(ф) = 0, * (Ф)?т+1 — Т Sc % (у) F (ф) = 0.

Для независимости полученных уравнений от переменной | положим у = — V2. Тогда ф = ц/ и система (1-9) примет вид

Є"(Ф) + ©’ (Ф) Сф) = 0.

Граничные условия (при £ > 0), при которых следует интегри­ровать эти уравнения, следующие: 2

В(ф), = 0, «(<[>)„ = 1 при ф = + со, 0(Ф)ц=О, я(Ф)в = 1 при ф = —со,

1 + т

В <Ф)«. и = Ь «(Ф)». в = 0 ПРИ

Решение первого уравнения системы (1-10) выполним, следуя методу итерации, примененному Гертлером [Л. 110] при решении задачи о смешении плоскопараллельных потоков несжимаемой жидкости. Для этого представим искомую функцию F (ф) в виде ряда

(1-12)

^(ф) = 2(т_1)Х(<|>) 0-11)

Л-0

И первый член разложения г0 (ф) примем равным г|з. Используя разложение (1-11), т. е. подставляя в уравнения (1-10) функцию F (ф) и ее производные и приравнивая коэффициенты при одина­ковых степенях разности т—1, получаем систему уравнений для определения функций Fn (г|з):

Fl (ф) + 2tyFi (ф) = 0,

F; (ф) ч — 2ф^ (ф) = — 2Л (ф) F (ф),

С граничными условиями

F (- °°) =

Л (+<*>) =

1 + т 1 +т

(1-10)

F0» = F(<|») =

1 + т 2т

F‘n(± оо) = 0 (п> 2).

(1-13)

17

Ограничимся первым приближением, так как последующие, как известно из решения аналогичных задач, вносят незначительные уточнения. Интегрируя первое уравнение, получаем

F (ф) = Сг | erf (2) dz + С2ф + С8, о

2 Заказ № 2565

Где

Erf(z) =-^L f«r’sd/.

У71 о

Постоянные интегрирования найдем из граничных условий: Сг — — , С2 = 1, С3 = 0.

1 + т

В окончательном виде

F‘ (ф) = И = — і— [(1 + m) + (1 — /п) erf (ф)]. (1-14)

1 + т

Полученное решение совпадает с выражением для скорости в задаче о смешении потоков газа [Л. 22]:

" = JL [(1 + m)+ (!-«) erf (ф)].

"+» 2

Для определения профилей температуры и концентрации про­интегрируем второе и третье уравнения системы (1-10):

Є(ф )=C’l][F(z)]Prdz + C’2, — (1-15)

О

И(ф)=с;|[/ (z)]scdz+c"2. (Мб)

О

Значения постоянных интегрирования определяются из гра­ничных условий и соответственно равны:

Для зоны I (топливо — продукты сгорания)

Сі = — —1= .————— ^—— —— , С2 =

•Vb 1 —erf (фф/Рг) ‘ І-erf (ффТ^Р7)

CI = — —у= •— т~~—. С2= 1;

V Sc l_erf (фф У Sc),

Для зоны II (окислитель — продукты сгорания) с" — 1 1 Ґ — 1

Lq — —= .———————- , 1>2—

V Pr 1 + erf (фф ~V~Pr) ‘ 1 + erf (фф У^Рг)

1 1

С2 = 1.

Vsc і+егі{фф Vst)

В результате получим следующие выражения для функций 9 (-ф), я (ф), описывающих распределение температуры и концен­трации в факеле:

ДЛЯ ЗОНЫ / (арф < < + оо)

В, — Т~Т+~ = , (1-17)

Гф 1 — erf (фф Ург )

___ = і————— (Ы8)

L-erf^/sc) для ЗОНЫ U (— со < 1)3 <

В„ = Т~Т— L + Erf^V^) ^ (Ь19)

1 l + erf (фф/рг) ‘

J+EltoS-, (1.20)

Ч— l+erf (фф/Sc)

Используя выражения (1-18) и (1-20) и соотношение (1-7),[4]Получаем выражение, определяющее координату фронта пламени г|)ф,

Erf (фф У’Ц = щ. 0-21)

Где

Са, +оо Da

Р = 2

—> De

Для проведения численных расчетов и анализа влияния от­дельных параметров процесса на профили скорости, температуры и концентрации необходимо преобразовіать полученное решение в плоскость физических переменных х, у. Связь между безразмер­ными переменными ф = — q/Y |j и <р = у/У"х определяется из соот­ношения

Ф

(Іф

<р

Р(ф)

Так как профили плотности по обе стороны фронта пламени описываются различными выражениями, то в зависимости от зна­чения т|)ф (т. е. от того, будет ли т|)ф > 0 или т|)ф < 0) выражения, связывающие координаты if и ср, будут различными. Запишем их раздельно для двух случаев местоположения фронта пламени от­носительно линии if = 0.

В том случае, когда фронт пламени находится в области отри­цательных значений обобщенной координаты if, формулы перехода имеют вид: для зоны /

Ф

Ф, = при фф<(ф)< 4 ОО; (1-22)

J MW

Для зоны II

При — 00 < Ф < Фф • (Ь23)

Где

І*

Гіф

Фф =

. р, (‘« о

В случае, когда фронт располагается в области положительных значений координаты ijj, эти формулы принимают вид: для зоны /

Я>і — Фф +■ пГ ПРИ Фф ^ Ф < + °°> О"24)

Фф

Где

Гіф

РТТсР)

О

Для зоны II

Q>n=»f=JL при — оо<ф<ф. . (1-25)

" J РпОИ ^.^ ф

В этих выражениях р, (if), р,, (if) — профили плотности, ко­торые определяются соотношениями (1-17) и (1-19) и уравнением состояния. Исполыуя выражения для р, (if) и рм (if), приводим соотношения (1-22) — (1-25) к виду, удобному для расчета:

— 1

Ф, = ф + ■

I —erf (фф Vpt) +

Vk Pr

{[і — [ф erf (ф j/~Pr) 4-

{Exp (— Ф2 Pr) — 1}

При Фф < Ф < 4- со;

Фи = Фф + (Ф — *ф)

І + erf (фф/Рг) 4 [ф erf (ф ]/Рг) — Фф erf (фф урт) +

+ тЬг{ехр F Pr) ~ ехР (- ^фРг) I ]}}

При — 00 < ф < фф,

= Фф"

(В, ==

ФФ>0

Где

U), — 1

{{і’ф + [і’фЄгГ(ффі/РІ:) +

1 —erf (ффУТ^)

Юп =

+ оо

Ф| =ФФ+.(Ф-Фф)+-

—— , ——— ({(Ф ———-

I-erf (фф У Рг ) фегГ (ф /Р^)-1-фЄгГ(фф/Р?) +

+ уЬг {ЄХР ‘2 РГ) ~ ЄХР **

При Фф < ф < 4- оо;

Ф„ = Ф +———- "’І"’ ~{{ф + [фerf (ф +

14 erf (фф j/pr)

Фф<0

При — оо < ф < фф,

Где

Фф = Фф + —— {{ф»+ [^erf (фф +

У пРг

1 + erf (фф V Рг )

{ехр Pr)_|j

Проиллюстрируем полученные решения. Распределение безраз­мерной скорости и температуры в затопленном ламинарном факеле

(случай т = 0, т. е. = 0) по­казано на рис. 1-3. Из графика видно, что увеличение температуры горения (т. е. теплотворности газа) приводит к заметной перестройке профилей температуры и скоро­сти. Это связано в первую оче­редь с изменением местоположения фронта пламени, который с ростом температуры горения смещается к внешней границе пограничного слоя. Последнее, разумеется, впол­не естественно, так как при более — д -4 q і, /у высоких значениях температуры

Происходит более интенсивное рас­ширение газов, вызывающее сме — Рис. 1-3. Распределение скорости щение зоны горения во внешнюю и избыточной температуры в ла — область. Аналогичная картина

S|?L°oHHo7Top4eZ Р 4Ро! ™еет МЄС™ И "РИ Г°РеНИИ ТуРбу*

Т = 0). лентного факела.

На рис. 1-4 приведены резуль­таты расчета распределения без­размерных значений скорости, температуры, плотности потока им­пульса ри2, величины ри (и — f и ) в спутном ламинарном факеле. Из графика видно, что изменение параметра т = ы_оо/и+оо вызы­вает заметную деформацию профилей скорости и температуры. Увеличение параметра т приводит к смещению фронта пламени по направлению к потоку, движущемуся с большей скоростью. Заслуживает внимания своеобразный характер изменения динами­ческого давления в поперечном сечении спутного факела.

Как видно из рис. 1-4, наличие источника тепла (фронта пламени) в зоне смешения приводит к образованию провала в профилях ри2. Профиль избыточной величины ри (и — u_J) остаётся при этом монотонным. Профили температуры в соответствии с принятой схемой расчета имеют острый максимум на фронте пламени. Это является результатом предположения о бесконечно большой ско­рости реакции. Существенно, что численные расчеты профиля, тем­пературы вблизи максимального значения, выполненные с учетом
конечной скорости реакции, приводят из-за резкой температурной зависимости скорости реакции к практически такому же резуль­тату. В качестве подтверждения сошлемся на результаты выпол­ненного на ЭВМ расчета горения однородной смеси в пограничном слое IJI. 82].

Рис. 1-4. Распределение плотности потока импульса, избыточной температуры и скорости при ламинар­ном горении неперемешанных газов (Р = 4,0).